Ранее мы рассматривали кинетические уравнения, учи- тывающие только парные взаимодействия. Однако среди процессов трансформации большую роль играют также трехчастичные процессы, в частности рекомбинация с участием двух электронов. Это процесс является детально обратным по отношению к ионизации электронным ударом. Термодинамические равновесные концентрации атомов, ионов и электронов, обязанные процессам А + е^А+ + е + е, F.5.23а) описываются уравнением Саха. Поскольку мы не анализировали кинетических урав- нений с тройным взаимодействием, рассмотрим прямой термодинамический вывод этого уравнения. 6.5. О схемах описания динамики частиц трансформирующейся плазмы 309 Пусть имеется обратимая реакция vkAk = 0, F.5.236) где Ак — символ компоненты, а^ - стехиометрические коэффициенты 0. Тогда из термодинамики следует "закон действующих масс": ^^/^ = 0, F.5.23в) где fa — химический потенциал г-й компоненты реакции. Если каждая компонента плазмы является идеальным газом, то имеет место соотношение /1 = Т In п - Т In Z0Z{. F.5.24a) Здесь Zq — статистическая сумма по уровням, a Z\ обязана кинетической энергии частиц. Подставляя F.5.24а) в F.5.23в), получаем е где Zq'j6'* — статистические суммы соответствующих компонент. Кинетические со- множители ионов и атомов практически равны z\ = z\, a Zq = 2 соответственно двум ориентациям спина. Величины Zq и Zq берутся из двухуровневой модели. Поэтому можно положить — учитывая, что в 6.5.246 входит их отношение, Zq = ga, Zq = = дгехр{—el/kT. Здесь / — потенциал ионизации. Подставляя эти выражения в F.5.246), получаем формулу Саха. ткТе \3/2 Г el \ exP I > F.5.25а) па дг Для удобства расчётов выражение F.5.25а) можно представить в виде (кТ, el — в эВ, п — в см~3). ПеЩ = 2%3 1(J1 з/2 Г_^1 F.5.256) Зная температуру электронов Те и полное число частиц данного сорта 7V0 в еди- нице объёма, можно с помощью рекуррентной, по своей сути, формулы Саха найти плотность каждой из компонент nz и полную плотность электронов 9 Пе Пе F.5.26) п0 т, . 2n0 v 7 пе пе Здесь Kz(T) — правая часть F.5.25а), соответствующая переходу (Z — 1) —> Z. На рис. 6.5.1 приведены зависимости от Те концентраций ионов разной кратности для кислорода. Эффективный заряд ионов и термодинамические соотношения в термической плазме. Если рассмотреть кривые зависимостей концентрации ионов с данным Z от температуры (см. рис. 6.5.1), то обращает на себя внимание, что при каждой темпе- ратуре, как правило, преобладают ионы 2—3 сортов с близкими значениями Z. Это 1) В нашем случае это будет v =l,z/e=l, щ = — 1, vee = —2. 310 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением 0III 0IV0VGVI 0VII OVIII 0IX 104 105 106, К Рис. 6.5.1. Зависимость концентрации ионов кислорода разной кратности от температуры вычисленная в предположении, что устанавливается равновесие Саха электронов при пе = 1017см 3 делает целесообразным введение среднего заряда иона Z. Если в плазме содержатся ионы с достаточно большим Z', то можно аппроксимировать зависимость потенциала ионизации Iz+\ иона с зарядом Z — в результате чего появляется ион с зарядом Z+ 1 — некой непрерывной функцией I(Z), полученной интерполяцией значений потенциала ионизации Iz+\ от целочисленного аргумента Z+ 1. В результате, как показано в [144], величину Z можно найти как решения трансцендентного уравнения 1 AT3/2 F.5.27) Здесь слева стоит полусумма потенциалов ионизации ионов с зарядом Z — \ и Z. Величина V Выражения для термодинамических функций р(п, Т) и внутренней энергии доста- точно очевидны (плазма предполагается идеальной) Z)kT. F.5.28) Чтобы написать выражения для внутренней энергии, учтём, что она в уравнениях динамики относится к единице массы и включает как тепловую энергию, так и за- траты на возбуждение и ионизацию. Поэтому F.5.29) Здесь Q(Z) — сумма затрат на отрыв от атома Z электронов, a W — энергия возбуждения. Электропроводность и теплопроводность трансформирующейся плазмы. На- ряду с термодинамическими функциями р(п, Т) и е(Т) необходимо знать зависи- мость электропроводимости и теплопроводности плазмы от плотности и температуры. 6.5. О схемах описания динамики частиц трансформирующейся плазмы 311 Общая формула для классической электропроводности, как известно, имеет вид е2п0гэф а = -, F.5.30) т причём — = V—, F.5.31) Гэф (а) Геа где суммирование ведётся по всем а-сортам частиц. При низких температурах проводимость определяется малой концентрацией элек- тронов и, в соответствии с формулой Саха } F-5-32) и это в целом хорошо подтверждает эксперимент. Начиная с температур Т ^ 0, 3—0, 5эВ, существенным фактором становятся куло- новские столкновения электронов с ионами. Этот переходный интервал простирается до Т ~ 1,5 эВ, а далее проводимость становится "спитцеровской" а ~ Т3/2. F.5.33) / \-1 В этом случае nerei не зависит от пе, т.к. те^ = 1щ (av) 1 , а в силу квазиней- тральности щ ~ пе Затем, если это не водород, начинаются последующие ионизации. При этом пе ~ ~ Zrii, но кулоновское сечение ~ Z2/T2 и зависимость а от Т становится более слабой а~Т?, 0,5 <^< 1,5. F.5.34) Пример зависимости а от Те, рассчитанной на основе уравнения Саха и формулы F.5.30) представлен на рис. 6.5.2. Что же касается теплопроводности, то здесь при отсутствии магнитного поля перенос тепла при хорошей ионизации преимущественно производится электронами. Коэффициент этой теплопроводности к2Т Хе = -^о-. F.5.35) Здесь а — спитцеровская проводимость. При достаточно сильном магнитном поле тепло переносится в основном ионами. Но зависимость здесь сложная, и мы не будем её выписывать (см. п. 5.3.4).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Формула Саха» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
