Перенос излучения в условиях, близких к равновесным
Если плазма и излучение находятся в состоянии, близком к термодинамическому равновесию, то кинетическое уравнение переноса излучения F.3.8) можно привести к гидродинамическому виду. Иными словами, от функции 1Ш, определяемой в 6-мерном пространстве (и;,п,х) можно перейти к функциям U и S в трёхмерном пространстве (х), которые были определены выше (см. F.4.3), F.4.4)). Однако перед этим, предполагая квазиравновесность плазмы, уравнения F.5.19) целесообразно несколько преобразовать. Учитывая F.3.26) и F.3.4) при д^ = д^, получаем Пи3 ( *"' F.4.13) кТ Формула F.4.13) справедлива для любого механизма излучения, несмотря на то, что при ее выводе мы рассмотрели частный случай линейчатого излучения, поскольку о л 4тг3с Здесь Л = -^г- 6.4. Уравнение переноса излучения (кинетика фотонов) 299 F.4.13) есть не что иное, как закон Кирхгофа. Подставляя F.4.13) в F.4.12), получаем уравнение переноса в виде (- exp l-^X) 1Ш. F.4.14) И, наконец, отсюда выводим традиционную запись уравнения переноса для квази- равновесных условий 1^ ?>/„,). F.4.15) Здесь ^ ({^}) F.4.16а) равновесная (планковская) интенсивность лучистого потока. Теперь можно было бы воспользоваться той же идеей перехода от кинетики к гидродинамике, которая первый раз была описана в п. 4.3.1. А именно, умножая F.4.15) на 1, Q,a, Q,aQ,p,... и интегрируя по телесному углу О: dCl = sin 9 d9 Aф; ?lx =sin9cos(/), ?ly = sin9sin(/), uz=cos9, F.4.17a) получаем бесконечную цепочку уравнений гидродинамического типа с at oxa - W d^W^ X>- F.4.176) д , , ( ) 4 Здесь 5ар — символ Кронекера, Оборвать полученную цепочку можно, считая интенсивность 1Ш мало отличающейся от равновесной 1^ . Однако это лучше сделать несколько иначе, взяв для простоты уравнение F.4.15) при ^-1ш=0, (ШIш = х'A*?1-1ш), F.4.18а) то-есть A+хКо; = 1?). F.4.186) Здесь х — оператор F.4.18в) 300 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением Решение уравнения F.4.186) можно записать в виде /„ = A + хГ'& = & - Й?> + ХХ& - ... = ^(^#>)-... F.4.19) Из F.4.18) следует, что разложение идет по степеням 1 F.4.20) x'V где L — масштаб неоднородности температуры и плотности в плазменной конфигу- рации. Иными словами для быстрой сходимости ряда нужно, чтобы L было много больше длины свободного пробега фотона Зная 1Ш можно рассчитать все характеристики потока. Так, мощность выделения в единицах объёма сю сю сю qs = divS = div I* Sudu; = div I* du j* Ш^П = I du I (fiV)/wdH = 0 0 4тг О 4тг сю F.4.21) Это естественная формула. Она выражает тот факт, что радиационный выход из элемента плазменного объёма определяется излучением и поглощением. Если в F.4.21) подставить разложение F.4.19), то, учитывая, что П dft = 0, ненулевой вклад даёт только второй и последующие чётные степени разложения. Итак, о о Здесь Uij = dtKlitij. F.4.23) J 4тг Используя выражения F.4.17а), найдем, что шхх = шУу = ujzz = -r-, cJij = (J при г т^ j. о Учитывая, что 1/%^ = ?ш — свободный пробег фотона, можно написать сю сю Qs = ~^- | duoAiv (—) VI$ = ^div | ludu)VI^\ F.4.24) о о 6.4. Уравнение переноса излучения (кинетика фотонов) 301 Последний интеграл, полагая cUu = 4тг/<1, , можно представить в виде сю f = 1RVU = 4?RaC-BT3X7T, F.4.25a) где сгс-б — постоянная Стефана-Больцмана. Закон Стефана-Больцмана связывает равновесную плотность энергии излучения U с температурой Т: U = сгс_БТ4. F.4.256) В F.4.25а) введен некий усредненный по планковскому распределению свободный пробег фотонов в данном плазменном объёме lR = -j-41 . F.4.26а) Эту величину называют росселандовым пробегом. Видно, что у нас появляется специфическая функция F.4.27) dT в которой использован закон Стефана-Больцмана. Подставляя в F.4.27) формулу Планка, получаем явное выражение для G{u) Используя формулы F.4.25а) и F.4.26), можем написать qs = div (Urcjc^Vt) . F.4.29) Эта формула приобретает более естественный вид, если ввести вектор светового потока S. Тогда S = -^<7с-бТ3УТ, qs = -divS. F.4.30) о При поверхностном взгляде может показаться, что росселандов пробег универ- сален для всех плазменных объёмов, оптически толстых и близких к равновесному состоянию, россландов пробег одни и тот же, однако это не так. Различие здесь связано с разной зависимостью к^ от частоты и температуры. Аппроксимация ?r [157]. Выше подчеркивался сложный вид зависимости ко- эффициента поглощения к^ от частоты, а тем более от температуры и плотности. Однако в ряде случаев имеются аппроксимационные формулы разумной точности. Они относятся к ЛТР (см. п. 6.5.7) • Для тормозного поглощения при Ьи < кТ (Крамере) TK. (б.4.31а) 302 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением • Коэффициент поглощения в плазме с частицами, имеющими один ионизацион- ный уровень (литий) Тьио F.4.316) • Плазма с многозарядными ионами (Крамерс-Унзольд) ^(Кр-Ун) _ {Z) Здесь Если рассматривается тормозное излучение на ионах с зарядом Z (п. 6.3.2), то росселандов пробег 24^^ F.4.32) 6о Здесь по — концентрация ионов. Если же излучение линейчатое, то для ионов с Z> 1 приемлемой для оценок аппроксимацией является выражение ^д = 4,4- 102 Z(l+Z)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Перенос излучения в условиях, близких к равновесным» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
