Для за- вершения вывода кинетического уравнения нам остается найти тензор Djk = ^ (AvjAvk). E.2.24) Эти вычисления проведём в два этапа фактически так же, как это делалось при вычислении Fst в предыдущем пункте. А именно, будем отталкиваться от рассеяния на неподвижном центре односкоростного потока. Вычисления упрощаются, если ввести две системы координат: декартову для записи компонент тензора и сфериче- ские — для их расчёта. При этом ось z выберем вдоль потока. В отличие от случая расчёта силы торможения, когда нам было достаточно учитывать только изменения ^-компоненты скорости, и поэтому азимутальный угол ср не играл роли, теперь надо учитывать все компоненты приращения скорости. Они, очевидно, будут равны Аих = щ sin в cos cp Аиу = г^о sin в sin cp E.2.25) Auz = щ(\ — cosO). Теперь можно написать, по аналогии с E.2.13), выражение для gje = — (AujAui) = n^u AujAuida. E.2.26) ijj^ J±. \ J l I U J l V / Здесь da = pdpdcp, nu — плотность потока частиц со скоростью и, направленной вдоль оси z. Как и раньше, р и da определяются формулами E.2.10), а Аи можно записать в виде 2 Аих = 2и 2РРо 2 cos0; Аиу = 2и 2РРо 2 sin0; Auz = -2и /° 2- E.2.27) Подставляя эти выражения в E.2.26) и интегрируя по (р, мы увидим, что тензор Qjk — диагональный (В 0 0 \ gjk=[0 В 0 . E.2.28) \0 0 BJ Здесь о Ртах В=9х, = д„=п^(Аи,)'\,Л,= ^(^^\ j f\,. E.259) . "в»1' Этот интеграл также расходиться, и его также надо обрезать на неком ртаж, в каче- стве которого естественно взять дебаевский радиус. При этом ' + р \) где Л определяется формулой E.2.15в). Учитывая, что Л ^> 1, можно считать ЛB) «Л, E.2.31) так что 2 в= 1 /4тге«е^\ д Ажи \ Ца/з ) 238 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях Нетрудно убедиться, что интеграл В\ = п J (AuzJuda не расходится при р —> оо, и поэтому им можно пренебречь по сравнению с В. Таким образом, в окончательно выбранной системе координат и моноскоростном потоке (В О 0\ gji=[0 В 0 . E.2.33) \о о оу Чтобы перейти от взаимодействия набегающего потока с неподвижным цен- тром к взаимодействию с движущимися частицами, надо воспользоваться формулой Av = ^Ди. E.2.34) Кроме того, надо перейти к произвольно ориентированной системе декартовых коор- динат. Пусть в этой системе скорость и имеет компоненту и = (их, иу, uz). Тогда, как нетрудно проверить, диагональный тензор E.2.33) с нулевой ^^-компонентой будет иметь вид / и и \ gik = В (Sik - -±±) . E.2.35) V и1 J Учитывая E.2.34), E.2.32), получаем окончательную формулу для Dj^ E.2.36) Но её можно записать и более компактно, если учесть, что u = v — Vх и д2 \и\ 5ik E.2.37) Тогда получаем E.2.38) Здесь ф — "вторая функция Трубникова": Вспомним первую функцию Трубникова E.2.22) Ф 4тг Нетрудно убедиться, что /,фиф связаны соотношениями = /. E.2.40) Отметим ещё две формулы, связывающие изменение импульса и энергии пробной (а) частицы, движущейся среди полевых (/3) частиц. Очевидно E.2.23а) ^ = -^У,Ф,. E.2.41) at цар Изменение энергии пробной частицы связано не только с потерей начального им- пульса, но и с отклонением от первоначального направления. Поэтому dsa ma d / d , . Id,. А Л /^^,^ч УУ m[v (V) + (АуАу) E.2.42а) dt 2 dt L L " V Ldt x ч ' 2dt 5.2. Кинетика сталкивающихся заряженных частиц 239 Используя формулы E.2.39), получаем (^ ±) E.2.426) Формулы E.2.41) и E.2.42а) мы используем в разделе 5.4.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кулоновские столкновения: диффузионные коэффициенты» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
