Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Введення в плазмодінаміку

Преобразование Лапласа

Очевидно, все сказанное пока не даёт нам
правила учёта сингулярности в D.4.5). Среди возможных подходов, наибольший
интерес представляет решение задачи с начальными условиями. Эту задачу можно
решить, применив разложение Фурье для зависимости ф и / от пространственной
координаты х:
j * D.4.8а)
f(x,v,t)= \(
а для фус{€) и fn(v,t), вместо преобразования Фурье использовать преобразование
Лапласа (Л. Д. Ландау, 1946) [ПО]
оо оо
г г
fp(v)= exp{— pt\fn(v, t)dt; фр = ещу^—р^фЛ^йЬ. D.4.86)
J J
о о
Здесь р = а + is, причём вещественная часть Rep = а > 0. Начальное возмущение —
"источник", обозначим через g(vM(t).
Умножая Фурье-компоненту (по к) уравнения D.4.2) на ехр{— pi} и интегрируя
по t, получаем
U = W^ + K -^Фр- D-4-9)
гр — kv гр — kv m ov
Здесь g(v) определяется начальным значением dfo/dt. Как мы видим, это выражение
отличается от D.4.4) добавлением слагаемого с д и заменой и на гр. Подстановка
D.4.9) во второе уравнение D.4.4) и учёт выражения D.4.5) для е позволяет найти
Фр = -^
По известному фр нетрудно найти
1 Г
exp(pt)(/)pdp. D.4.106)
)
Теперь вместо р удобно перейти к переменной ио = ip, а так как по переменной р
интегрирование проводится в правой полуплоскости, интегрирование по комплексной
переменной и следует проводить в верхней полуплоскости. Поэтому, когда вычис-
ляется б и другие интегралы с кинематическим резонансом D.4.6), величина и
g{v)dv g=1 + Wr^ dv
1г(к, ip) J ip — kv' тк J dv (ip — kv
4.4. Кинетика волн в плазме при Но = 0 217
считается имеющей положительную мнимую часть, а интегрирование по v идёт по
вещественной оси (рис. 4.4.3а). Итак
— oo-\-ia
Аналогично находится и f^(v,t).
+гоо+сг
^ ( 9(v) Н Фр^л~ ) du. D.4.116)
(J — IXV у 771 <7t> у
— ioo+(j
Выражения D.4.11) полностью решают задачу об эволюции колебаний плазмы,
вызванных начальным возмущением g(v). Из него видно, что, вообще говоря, не
существует определённой зависимости и от х: при заданном х интегрирование
в D.4.11) производится по всем и. Однако, если g(v) не имеет особенностей, то,
в соответствии с теорией вычетов функций комплексного переменного, значения
интеграла D.4.11) будут определяться нулями е(х,и;).
г(х,иик) = 0. D.4.12а)
Таким образом, из решения D.4.11) выделяются ветви плазменных колебаний с соб-
ственными частотами ик, и, следовательно,
ф(Ь) ~exp{-iukt}. D.4.126)
Частный случай: максвелловское распределение fo(v). Если электроны имеют
максвелловское распределение с температурой Т, то диэлектрическая проницаемость,
даваемая выражением D.4.5), может быть вычислена точно и представлена в виде
[12] ^?2
ГП''' D.4.13)
где сс;ре - ленгмюровская частота, z = ui/kvre, ^Te = л/2Т/те — средняя тепловая
скорость, а функция
z
W(z) = exp{-z2} + 4^ f exp{-^2 +?2}d?. D.4.14a)
V ^ J
о
При больших и малых z функция w(z) аппроксимируется простыми выражениями
w(z) = -^- A + ^ + ^ + ---) + ехр{-/}; D.4.146)
\z\^\
w(z) = 1 + -^. D.4.14в)
Приравнивая D.4.13) нулю, можно найти действительную и мнимую части ком-
плексной частоты. При малых к <С 1/го, где го — дебаевский радиус, величина
218
Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
z > 1, и после несложных выкладок находим, что выражение для действительной
части частоты имеет вид
D.4.15а)
о о Огъ-L о
UJ = Шпез -\ К ,
т
и мнимая её часть (т. е. декремент затухания 7) равна
ехр \ - 2 I.
D.4.156)
Как мы видим, при малых кгв декремент затухания экспоненциально мал.
Формула D.4.15а) отличается от формулы C.5.76) коэффициентом 3 перед вто-
рым членом. Это связано с тем, что здесь рассматривалась одномерная задача, т.е.
с одной степенью свободы, когда показатель адиабаты ja = 3.
W A
G)
=\©г
а б
Рис. 4.4.2. Контуры интегрирования при вычислении интегралов с резонансным знаменателем:
а — общий случай, б — случай слабого затухания (нарастания) колебаний
Общий случай /о при малом декременте затухания \j/uj\ <C 1. Рассмотрим
теперь случай ФРЭ произвольного вида /о, но при малой величине 7- Частоту uj
следует считать находящейся в верхней полуплоскости, но близкой к действительной
оси, поэтому обходить особенность можно так, как показано на рис. 4.4.26. То
есть путь интегрирования можно взять в виде двух отрезков оси v, соединённых
полуокружностью в нижней полуплоскости с радиусом р —> 0 и обходящей особую
точку v* = и/х. Интегрирование вдоль отрезков определяет главное значение Р
соответствующего интеграла 0. Данное правило обхода полюса принято называть
правилом Ландау. С его учётом диэлектрическая проницаемость D.4.5) оказывается
комплексной:
4тге2 Г dv dfo 4тге2 гтг dfo
¦f-
J и-
Считая v*
+ ОО
можно написать
+ ОО
р
dfo dv
dv uj — kv uj
+
kv dv
KV
KVfle
K\
dv
D.4.16)
dfo
dv
к
D.4.17a)
Подставляя 4.4.17a и uj =
+ г7 в 4.4.16, получаем явное выражение для 7-
=
1 mo dv
D.4.176)
l) Ленгмюровские колебания при учёте только главного значения интеграла рассматри-
вались А. А. Власовым [105]. Они соответствуют стационарным волнам с захваченными
частицами.
4.4. Кинетика волн в плазме при Но = О
219
При очень больших t определённый вклад в интеграл D.4.116) вносит также
полюс uo—KV = 0, соответствующий свободному разлету частиц от начального воз-
мущения, т. е. "волнам Ван Кампена" Эту группу частиц описывает первый член
в интеграле D.4.116). Так что зависимость потенциала ф от времени может быть
сложной.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Преобразование Лапласа» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»