При отсут- ствии магнитного поля и известных Fi(ei) и Fe(se) уравнение D.3.8) -ф = -4тге (Fi(ei)+Fe(ee))dv = 4тгУ@) D.3.11а) позволяет рассчитать распределение потенциала ф(х), т.е. найти ^-структуру. Этому способствует и наличие первого интеграла — закона сохранения импульса D.3.86) Mv2Fi(?i) + mv2Fe(se))dv=\Y(<t>)d(f> +const = Q(<t>). D.3.116) Отсюда следует квадратура К сожалению, вид Fi и Fe как правило сложен 0, и доведение решения системы D.3.11а) требует численного счёта. Определение ф(х) при известных Fiisi) и Fe(se) естественно назвать "прямой" задачей расчёта ^-структур. Однако уравнение D.3.11а) позволяет решить и "об- ратную" задачу, т. е. при заданном распределении потенциала ф(х) найти функции распределения частиц, обеспечивающие равновесность ^-системы. Впервые это сде- лали Бернштейн, Грин, Крускал A957). Суть их результата состоит в следующем. Пусть в неком одномерном объёме находится несколько групп электронов и ионов с известными функциями распределения F^ и Fqg, при которых плазма в объёме не находится в равновесии. Тогда, как показали упомянутые авторы, к данной совокуп- ности частиц можно добавить группу электронов или ионов, запертых в потенциаль- ной яме заданного профиля, которая и обеспечит стационарность всей системы. При 1) Например, в случае распределения Максвелла. 4.3. "Статические" кинетические конфигурации 209 этом функция распределения (ФР) "стабилизирующих" частиц может быть найдена как решение интегрального уравнения Абеля. Воспроизведем схему решения обратной задачи. Для того, чтобы не усложнять анализ формальными моментами, будем считать, что зависимость ф(х) — перио- дическая, и в пределах периода имеется один максимум, т. е. профиль напоминает синусоиду (рис. 4.3.1а). Траектории ионов и электронов на фазовой плоскости (х, v) весьма различны (рис. 4.3.16,в). Здесь мы видим траектории "пролётных" частиц, которые "слабо" чувствуют электрическое поле и "запертых" частиц, имеющих за- мкнутые траектории внутри соответствующих потенциальных ям. I 1 I Рис. 4.3.1. К расчёту прямой задачи БГК: а — профиль потенциала; б — фазовые траектории электронов, в — то же для ионов Пусть у нас заданные, например ФР всех ионов (Fi) и ФР только пролётных электронов (Fe ), а также задан потенциальный рельеф ф(х). Требуется подобрать ФР запертых электронов (FeU), при которой будет существовать стационарная Е- конфигурация, т.е. будет справедливо уравнение D.3.11а). Учитывая одномерность конфигурации, можно выразить вторую производную d2ф(x)/dx2 через ф: <^ = МФ). а поскольку плотность всех ионов щ и плотность пролётных электронов пе также зависят только от ф, то из D.3.11а) получаем уравнение для ФР запертых электронов п(зап) = D.3.12) Полученное интегральное уравнение для FJ3an^ при известной функции 3(ф) легко сводится к уравнению Абеля. Действительно, взяв в качестве независимой 210 Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме переменной вместо скорости v энергию частиц, mv2 е= — -еф, которая изменяется в пределах 0 < г < ?тах = — ефт[п (здесь принят за нуль ф максимум потенциала), можем написать D.3.12) в виде ,«.13, ^/2m(e + еф) — сер В D.3.13) учтено, что ае ае mv y/2m(e + еф) а коэффициент 2 появился из учёта частиц, имеющих скорость как v > О, так и v < < 0. Наконец, через фт обозначено минимальное значение потенциала. Уравнение D.3.13) является искомым интегральным уравнением. Для большей наглядности, введём переменную \ = —еф- Тогда D.3.13) запишется в каноническом виде Г F0(e)de X Решения этого уравнения имеет вид D.3.14) D.3.15) Стоящее справа выражение содержит интегрируемую сингулярность, и это явно наводит на мысль, что Fq(s) не будет линейно зависеть от фт — амплитуды воз- мущающего потенциала, если \фт\ —> 0. И действительно, анализ показывает, что в случае, когда путём подбора ф(х) и /о(^) можно избежать в Fq(s) сингулярности, то функция распределения запертых частиц при малых фм имеет вид: F0(?,<I>m) = Ах{г){-ефм - вI/2 + А2(г)(-ефм - efl2 + ... D.3.16) Таким образом, разложение идёт по полуцелым степеням. Отсюда следуют два важных вывода: - не существует линейных стационарных волн в электронное плазме, без захва- ченных частиц; - захваченные частицы позволяют построить равновесную конфигурацию из "неравновесных" ФР 0. Эти выводы мы сейчас подтвердим прямым расчётом линейных волн в модели Власова. Принципиальные особенности нестационарности линейных волн были вы- явлены А. А. Власовым, Л. Д. Ландау, Ван Кампеном. Причина отсутствия стационарных линейных ?^-волн объясняет рис. 4.3.1. А именно. Если Е-поле отсутствует, то фазовые траектории имеют вид прямых, идущих параллельно оси х. Над этой осью траектории идут направо, а под осью — налево. Появление сколь угодно малого ?^-поля радикально изменяет топологию фазовых 1) Разумеется, вопрос об устойчивости найденной конфигурации остается открытым. 4.3. "Статические" кинетические конфигурации 211 траекторий частиц вблизи оси х: возникает цепочка "бусинок". При этом ограничи- вающая их сепаратриса определяется уравнением mv2 — еф = -ефтгп Таким образом квадрат возмущения скорости, а не просто возмущение скорости, оказывается пропорциональным возмущению ф.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Обратная задача Бернштейна-Грина-Крускала» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
