В общем случае функция распределения частиц / находится как решение некоего кинетического уравнения. Это уравнение должно описывать расползание и деформацию "капель" в фазовом пространстве. Его вывод предельно прост. Предполагая, что частицы не рождаются, не исчезают и не "прыга- ют" (за счёт столкновений) из одной точки фазового пространства в другую, можно, исходя из D.1.2), написать: i i dt dt Если учесть, что в любом, в том числе и в фазовом, пространстве с координатами (^к) производная объёма 5Г равна D.1.56) D.1.6а) получаем в нашем случае, когда ? = (х, v) Здесь divx и div^ — операторы дивергенции соответственно в обычном ("конфигура- ционном") пространстве и в пространстве скоростей, и, кроме того, считается, что —- = v; dt dt = а. Элементарными преобразованиями приводим D.1.6а) к виду: D.1.7) где учтено уравнение Ньютона а = М' Как видно из приведённых выкладок, при вы- воде D.1.7) не сделано никаких предположений о характере сил, действующих на частицы. Од- нако динамика заряженных частиц подчиняется уравнениям Гамильтона. Но для гамильтоновских систем имеет место теорема Лиувилля о сохране- нии фазового объёма. А именно, если выделить D.1.6 Рис. 4.1.1. Деформация капли фа- зового объекта со временем 200 Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме в фазовом пространстве произвольную область (рис. 4.1.1), оконтуренную частицами, то, как бы ни изменялась форма этой области со временем, её объём не изменяется -\ dxdv = const. D.1.8) Учитывая этот факт в уравнении D.1.5), нужно положить 5Г = 0, и тогда полу- чается кинетическое уравнение Лиувилля ?1 = д1+Л + ^д1-0 D19) Dt " dt +vax Mdv к } Оно описывает динамику облака независимых частиц, движущихся в потенциальных и электромагнитных полях. Наглядный пример. Космонавт выходит из космического корабля, находящегося вдали от Земли и вытряхивает пыль из коврика. Пылинки движутся без столкнове- ний. Задача о движении облака пылинок ставится в этом случае так: дана функция распределения /о в начальный момент времени /о = /(О, х0, v0). D.1.10) Требуется определить функцию / в любой другой момент времени. Если корабль летел далеко от Земли и тяготение пренебрежимо мало, то частицы будут двигаться по инерции, т. е. х0 = х — vt; v = v0, D.1.11) и функция распределения частиц в произвольный момент t будет / = /o(x-vt, v). D.1.12) Она, очевидно, удовлетворяет уравнению D.1.9) при а = 0: at ax Общее решение уравнения D.1.9). Вернёмся к общему случаю квазилинейных дифференциальных уравнений ^+a{^ + ... + an-^=g, D.1.13a) ОХо ОХ\ ОХп где а/с = ak(xo, x\,...,xn, /). Известно, что общее решение уравнения D.1.13а) мо- жет быть сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений dxo_ = dx]_ = = dx<n = d[_ 1 а\ '" ап g ' В математике их называют уравнениями характеристик. В случае уравнения Лиувил- ля D.1.9) они имеют вид dx dv F —r=v', —- = —-, D. dt dt M т. е. являются обычными уравнениями Ньютона для движения частиц. А такие задачи мы умеем решать (см. раздел 1.2). В общем нестационарном случае система D.1.136) имеет шесть интегралов с ше- стью постоянными (^о, которые характеризуют начальное положение и скорость частицы: **«......&.*) = &о; *=1.....б; 6,2,3 = 2, X, у] ^4,5,6 = Vz, Vx, Vy. 4.1. Исходные понятия 201 Если /о(бсо) — значение функции распределения / при t = 0, то в любой другой момент f(Z,t)=fo(9(ZM ? = (&,...,&); 9 = (9i,...,9e). D.1.146) Во многих случаях особый интерес представляют стационарные процессы, когда параметры плазмы не зависят от t. В этом случае в качестве независимой переменной естественно взять одну из координат, например ?i = z. Тогда, исключив t с помощью первого уравнения D.1.136), получим пять интегралов = 2,...,6, D.1.15а) и, следовательно, если при z = 0 функция распределения есть /о(?аю)> то в любом другом сечении №) f№)). D.1.156)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Лиувилля» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
