Простейшая двухжидкостная модель пучковой неустойчивости
Спе- цифическая особенность плазмы состоит в том, что в ней часто существуют две или большее число компонент, которые движутся сравнительно свободно друг относи- тельно друга. Естественно ожидать, что при приближении относительной скорости этих компонент к характерным скоростям волн в среде, должна начаться раскачка колебаний (волн). Эта ситуация напоминает генерацию звуковых волн при движении со сверхзвуковой скоростью тел в воздухе. Только в плазме раскачка вызывается не посторонним предметом, а движением компонент самой плазмы. Такого рода нарастающие колебания обычно называют "пучковыми" неустойчиво- стями, поскольку они проще всего инициируются при инжекции пучков — обычно электронов, в плазму. Большую роль неустойчивостей, вызванных относительным движением компонент, впервые должным образом подчеркнули украинские физики А. И. Ахиезер и Я. Б. Файнберг A949), детально рассмотрев взаимодействия пучка электронов малой плотности с электронной компонентой плазмы [85]. Практически одновременно в 1948-49 гг. аналогичную задачу, но менее основательно и с целым рядом ограничений, независимо рассматривали также А. Гаеф, Д. Бом и Е. Гросс. Проиллюстрируем сказанное соответствующим расчётам, считая плазму холод- ной, ионы бесконечно тяжелыми (тп/М —> 0), а пучок также холодным, но движу- щимся со скоростью ^о вдоль оси х. Описывая и неподвижную электронную компо- ненту, и пучок уравнениями гидродинамики, получаем дисперсионное уравнение для продольных колебаний в виде 4^Ц=0. C.5.31) Здесь ujq и ujQb — ленгмюровские частоты электронов плазмы и пучка. Уравнение C.5.31) можно получить, непосредственно решая методом Фурье линеаризованную систему уравнений дп dv л дщ д +щ 0 + \t дх дЕ —— = Здесь величины без индексов относятся к возмущениям электронов плазмы, с индек- сом "Ь" — к электронам пучка. Нулем отмечены невозмущённые величины (vq = г>об)- Однако дисперсионное уравнение C.5.32) автоматически следует из выражения C.5.4) для е, если учесть эффект Допплера для пучка Ш —> Ш — ЯУ(). 3.5. Линейные волны в однородной плазме (двухжидкостная модель) 167 Уравнение C.5.31) при данном волновом числе к является алгебраическим урав- нением четвёртой степени, но его решение громоздко. Однако нетрудно получить представление об этих решениях, используя график функции C.5.33) (и;-xv 2. %v ш %v (О Рис. 3.5.3. Графики функции F(uS) для двухпучковой системы (к формуле C.5.33); а — неустойчивый режим, б — неустойчивый режим Как видно на рис. 3.5.3, это уравнение всегда имеет два вещественных корня, а другие два корня могут быть как вещественными (рис. 3.5.3а), так и комплексными (рис. 3.5.36). Критическое значение к- vq, при котором два "вторых" корня совпадают и, следовательно, вещественны, равно C.5.34) При < q корни уравнения C.5.31) становятся комплексными 7 и один из этих корней (п + ij) ведёт к росту амплитуды колебаний по закону А ~ e7t. C.5.35) Критерий неустойчивости можно записать в виде 2/з\ 2/3 Л 1. C.5.36) А это означает, что, если длина волны Л заметно больше дебаевского радиуса г в, то система (плазменные электроны-электронный пучок) — неустойчива. Строго решая уравнение C.5.31), можно найти максимальный инкремент роста неустойчивости 7- он равен /^ C.5.37а) 24/3 при 168 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы ReH = -щ ущ. C.5.376) Здесь а = щ/щ, Re (а;) — вещественная часть частоты. Видно, что 7 ~ ^о даже при а = 1/10, т.е. неустойчивость развивается очень быстро — за несколько ленгмюровских колебаний. Полезно отметить, что дисперсионное уравнение типа C.5.31) мы получим и в том случае, если будем рассматривать движение электронов относительно ионов. Надо только вместо ш\ взять величину Чтобы полученная картина находилась в согласии с экспериментом, надо учесть Те и Т{. Аккуратный анализ этого случая будет описан в разделе 4.4. Фундаменталь- ный обзор плазменных неустойчивостей дан в двухтомной монографии А. Б. Михай- ловского [86].
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Простейшая двухжидкостная модель пучковой неустойчивости» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
