1. Исходная система уравнений МГД статики B.4.1) содержит 7 скалярных неизвестных (jx, jy, jz; Hx, Hy, Hz,; p). Исключив j, получаем систему B.4.5), содержащую 4 величины. Используя интегралы B.4.11) в общем случае, можно последнюю систему свести к двум уравнениям, не дел ая никаких специальных допу- щений. Но эта система имеет весьма экзотический вид, что связано с возможностью расщепления магнитных поверхностей [69]. Однако, если сделать предположение о наличии симметрии, то, как мы знаем, появляются магнитные поверхности, и си- стему B.4.1) можно свести к одному уравнению. Покажем это для осесимметричного случая. Впервые это сделали Э. Ферми и Чандрасекар, а затем независимо Грэд и В. Д. Шафранов A957, [67]). Это уравнение обычно называют "уравнением Грэда- Шафранова". Учитывая осевую симметрию, уравнению divH = 0 можно тождественно удо- влетворить, как это делалось в разделе 1.1, введя функцию потока ip(r,z) для полоидального поля, полагая Я, = -^; Hx = -l-W B.4.12а) Г OZ Г ОГ Взяв дивергенцию от первого уравнения Максвелла, получим divj = 0. Это уравнение позволяет аналогично ввести функцию полоидального электрического тока /(г, z): > = -^, j. = -l-?. B.4.126) г oz г or Подставляя B.4.12) в B.4.2), получаем равенство нулю двух якобианов 1=0 и ^Ц=0. B.4.13а) r,z) D(r,z) v ; 116 Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы А это означает, что давление р можно рассматривать и как функцию ф, и как функцию /, т. е. (ф) A) B.4.136) Если взять за основу функцию магнитного потока ф(г, z), то не только р, но и / является функцией ф 1 1(ф) B.4.13b) Этот вывод полностью согласуется с тем, что было сказано в пункте 2.4.2а, а именно, магнитная поверхность ф = const одновременно является токовой поверхностью / = = const, и в то же время она (ф) является поверхностью постоянного давления. Теперь рассмотрим два уравнения Максвелла, содержащие азимутальную компо- ненту магнитного поля: дН0 _ 4тг . 4тг 1 д! 1 дгН0 _ 4тг . _ 4тг 1 д! Jr о » о Jz о~ • Z С С Г OZ Г ОГ С С Г ОГ Отсюда следует: гНв = —/ + const. B.4.14) с Не уменьшая общности, можно положить const = 0. Третье уравнение Максвелла, содержащее азимутальную компоненту тока jo, как уже отмечалось ранее (п. 1.1.3), имеет вид A*il> = -—rje, B.4.15) с где А*ф— модифицированный оператор Лапласа. Для завершения вывода надо найти выражение для jo через ф. Оно находится из любой полоидальной компоненты уравнения равновесия, например, г-той: ^; (jezjzo) Используя B.4.12) и B.4.13), получаем: ,п.дф 1 Л Хдф 1Т,пЛдф4тг1\ Р W-E- = ~ Jo-^r - -I (Ф)-?г • B.4.16) ' дг с \ г дг г дг с г) Здесь штрих — производная по ф. Сокращая дф/дг, находим искомое выражение: Подставляя это выражение в B.4.15), получаем уравнение Грэда-Шафранова А*ф = Атгг2р\ф) - (—} IV. B.4.18) Это скалярное уравнение напоминает уравнение Пуассона. Однако правая часть зависит от ф. Поэтому, в зависимости от вида р(ф) и 1(ф), оно может быть уравнением эллиптического типа или уравнением гиперболического типа 0. Чаще реализуется первый случай. Обсудим подробнее свойства полученного уравнения. Прежде всего видно, что оно становится определённым, если априори заданы распре- ) Простейший одномерный аналог эллиптического типа — уравнение ф" — а ф = 0, а ги- перболического — уравнение ф" + а2ф = 0. 2.4. МГД-статика 117 деления давления р(ф) и полоидального тока Лол = 2тг 1(ф). Кроме того, для функции ф должно быть поставлено соответствующее граничное условие. Наглядно можно сказать так. Представим себе набор вложенных друг в друга тонких тороидальных абсолютно растяжимых "мешков", между которых заданы полоидальные магнитные потоки 5ф. Пусть в каждом из таких зазоров создана плазма с давлением р(ф) и создан полоидальный электрический ток 53иол(ф). И теперь эти мешки требуется уложить в некий тороидальный ящик, поддерживая при укладке постоянным 53шл(ф) и давление 5р(ф). Уравнение Грэда-Шафранова позволяет рассчитать получающуюся геометрию "оболочек-мешков", предполагая их абсолютно деформируемыми. Не надо думать, что модель с "мешками" абсолютно абстрактна. Современные методы инжек- ции нейтральных частиц, а также СВЧ нагрева плазмы, позволяют создать давление нужной величины в окрестности каждой магнитной поверхности и вызвать нужные величины полоидальных токов. Уравнение Грэда-Шафранова оказывается линейным, когда Тогда задача легко решается аналитически в случае тороидального короба пря- моугольного сечения с граничным условием фу = const методом разделения пере- менных. Используя компьютеры, рассчитывались структуры МГД-конфигураций при самых разных зависимостях р(ф) и 1(ф). При специальных выборах р{ф) и 1{ф) решение уравнения Грэда-Шафранова выражается простыми алгебраическими формулами. Вот два примера. 1. "Сферомак" — тороидальная конфигурация без полоидального тока (рис. 2.4.3). В этом случае, полагая I = 0,р = а + Ьф, получаем (В. Д. Шафранов) B420) Смысл фо,Л представлен на рисунке. Сепаратриса соответствует ф = 0. Параметр а определяет вытянутость конфи- гурации вдоль z. За пределами сепаратрисы расчёт поля проводится с помощью уравнения А> = 0. 2. Токамак с D-образным сечением шнура (рис. 2.4.4). Полагая р' = const; 12(ф) = фт + п, т,п—const, получаем (Б. А. Трубников) 9 9 r z ' min / \ max ^max / Смысл rmin, rmax, ^max виден из рисунка. Азимутальный ток в этой модели равен je = (— + Д)г) к; а, /3, к - const. B.4.22) Заканчивая рассмотрение осесимметричных конфигураций, отметим два момента: 1. Во многих случаях зависимости р(ф) и 1(ф) непосредственно не задаются, а находятся из тех или иных дополнительных условий, например, из соображений устойчивости. 2. При наличии трансляционной (т. е. независимости от z) или винтовой симмет- рии можно построить уравнения, аналогичные уравнению Грэда-Шафранова. 118 Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы \|/<0 ф <0 Рис. 2.4.3. Сферомак "алгебраический". На рисунке изображены магнитосиловые линии и соответствующие им значения функции магнитного потока ф >0 Рис. 2.4.4. Токамак с D-образным сечени- ем шнура: сечения магнитных поверхно- стей 4f(r,z) = const. Заштрихована внут- ренность сепаратрисы 3. Вывод уравнения Грэда-Шафранова принципиально предполагал наличие по- лоидального поля, т. е. ф ф 0. Если же такого поля нет, то схема редукции уравнения равновесия должна быть несколько иной и она приводит к естественному уравнению 1 dp(I) _ 4тг l~dT ~^V' B.4.23) которое можно получить из B.4.18), просто отбрасывая левую часть. Из полученного выражения сразу видно, что в этом случае плазменная конфигурация не зависит от z. О параметре C в равновесных конфигурациях. При рассмотрении плазменных конфигураций важным безразмерным параметром является отношение газодинами- ческого давления р к магнитному рм, о котором говорилось в п. 1.1: Рм kil Эта величина фигурирует и как локальный параметр /3(х), и как интегральный, под которым понимается отношение максимального давления плазмы в системе тах к некоторому, характерному значению поля Яо: в этом случае будем писать /3 с индексом "О": ~ А) = ^fF« B-4-24) Приведем несколько числовых примеров (см. также раздел 10.5). Характерными параметрами плазмы в случае (D, Т)-реакции являются пот = = пе « 1014см~3, Т{ ~ Те ~ ЮкэВ « 108К. Это соответствует давлению Р = (пот + пе)кТ « 2, 7 • 106 дин/см2 « 2, 7 атм. При Д) = 1 для удержания такой плазмы необходимо внешнее поле Щ « 8 кЭ. Подобные параметры характерны для ^-пинча или магнитных баллонов — галатей. В то же время в современных токамаках в центре шнура, где п и Т максимальны, Д) < 5%, что определяется границей устойчивости плазменной конфигурации. Поэто- 2.5. Линейные МГД волны в однородной плазме 119 му, взяв C = 4%, мы приходим к полю на оси шнура Яось « 40 кЭ, а соответственно на внутренней границе шнура (см. раздел 10.5) это поле — в оптимизированных установках, раза в три больше, т.е. ~ 100—120кЭ. Отметим, что поле Н = 40 кЭ создает давление ~ бОатм, а поле Н ~ 100 кЭ, — уже давление 400атм. Из этих оценок видно, как важен поиск схем ловушек с C ~ 1. Но ситуация ещё больше обостряется при переходе от (DT) к другим термоядерным горючим (см. раздел 10.5).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Двумерные (симметричные) конфигурации. Уравнение Грэда-Шафранова» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
