Уравнение B.3.бе), если учесть, что Н = rot А, где А — вектор-потенциал, формально полностью эквивалент- но уравнению B.1.22) для v. Но из последнего уравнения был получен инвариант Кельвина-Гельмгольца — циркуляция скорости. Очевидно, такой же инвариант су- ществует для А: С = | Adi = [ [*HdS = const. B.3.7) B.3.8) G) ^7 А это означает, что магнитный поток через произвольный жидкий контур 7 ФG) = [ [ s в идеально проводящей плазме сохраняется (рис. 2.3.1). Очевидно, здесь мы имеем несколько своеобразную формулировку известного утверждения классической электродинамики о сохранении магнитного потока, про- ходящего через идеально проводящий контур при всех его деформациях без разрывов и склеек. Это видно из закона электромагнитной индукции Фарадея и закона Ома для всей цепи. Действительно, для такого контура, обладающего сопротивлением R, можно написать , ЛЯч -!?-,* „з„ Отсюда следует, поскольку ток не может быть бесконечно большим, что при R —> О т. е. Ф = const. 2.3. Одножидкостная магнитная гидродинамика (МГЦ) 111 ж z J \ J -* 1 j [ J i Н У Рис. 2.3.1. Вмороженность маг- нитного поля в плазму: сохра- нение магнитного потока, про- ходящего через контуры 71, 72 Рис. 2.3.2. К выводу формулы B.3.10а) — кольцеобразный плазменный элемент в азимутальном магнитном поле (а). Плоское течение плазмы в поперечном магнитном поле (б), Н — магнитные силовые линиии, v — скорость течения Интегральной формуле B.3.7) можно придать более удобную для использования форму, в случае, если система обладает осевой симметрией, а поле содержит только азимутальную компоненту. Для этого выделим в плазменном потоке произвольную магнитную тороидальную поверхность малого сечения S (рис. 2.3.2а). При движении такого тороида в нём сохраняется и масса /i = 2irrSp и магнитный поток Ф = Н S. Поэтому сохраняется и величина - "параметр вмороженности" о Ф Н К = Z7T— = = COnSI. ji pr B.3.10а) Параметр вмороженности п сохраняется вдоль всей траектории выделенного кольца, но он может быть разным на разных траекториях. Если п постоянен во всем потоке, то такой поток называют "изомагнитным". Если течение "плоское", т. е. зависит только от (х,у), а магнитное поле имеет только z-компоненту (рис. 2.3.26), то такое течение можно рассматривать как осесимметричное при г —> оо. В этом случае параметр вмороженности принимает более простой вид Я х\ = —. Р B.3.106) Такие плоские изомагнитные баротропные течения формально полностью аналогичны эйлеровым течениям газа, но с модифицированным баротропным соотношением Р(р) = Р(р) + g^ = B.3.11а) Это утверждение непосредственно следует из B.3.6ж) и B.3.106). В таком случае система уравнений B.3.6) принимает явно "эйлеров" вид —— + divpv = 0; р— = —VP(p). B.3.116) Об изотропии давления в МГЦ. В уравнении динамики B.3.2) входит скалярная величина — давление. Эта скалярность следует из предположения об изотропии давления. 112 Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы При наличии магнитного поля в отсутствии столкновений распределения обычно неизотропны. Чтобы изотропизация произошла, частицы должны испытать несколько столкновений, причём на всем объёме системы. Наглядным примером плазменной системы с анизотропным давлением является пробкотрон, у которого в пространстве скоростей есть конус потерь. Кроме того, при движении частицы к пробкам, у них продольная энергия переходит в поперечную. Поэтому пробкотрон с плазмой, ото- рванной от торцов, не может описываться МГД моделями. Отметим, что была попытка построить газодинамику с анизотропным давлением (Чу, Гольбергер, Лоу), однако она не получила широкого применения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «"Вмороженность" магнитного поля в плазму» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
