Для вывода законов сохранения уравнение динамики B.1.56) полезно записать в виде ) -VP + f°6- B-1-12) Здесь использовано векторное тождество -V2 (vV)v = Vy-[v, rotv]. B.1.13) 4 А. И. Морозов 98 Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы Уравнение Бернулли (закон сохранения энергии). Пусть течение стационарно и fo6 =0, р = р(р). Тогда можно ввести обобщенную энтальпию B.1.14) и записать B.1.12) в виде V2 = [v, rotv]. B.1.15) Умножая это уравнение скалярно на v, получаем О Это выражение означает, что вдоль траектории капли (обозначим траекторию через ф) сохраняется сумма тепловой и кинетической энергии, нормированных на единицу массы: V— +i(p) = и(ф). B.1.16) Если при течении энтропия капли сохраняется в соответствии с B.1.6а), то з = з(ф). B.1.17а) Учитывая этот факт и используя общее уравнение состояния р = р(р, s), можно ввести энтальпию для данной капли Г dn(n я(<1/Л\ B.1.176) и мы получим аналогичную B.1.16) формулу ^ B.1.17b) Наконец, если объёмная сила, отнесённая к единице массы, является потенци- альной (как, например, сила тяжести), то-есть — = -\7W, B.1.18) Р то вместо B.1.17в) получается более общее выражение B.1.19) v2 — +i(p,s) + W Сохранение циркуляции скорости по ''жидкому контуру". В XIX веке В. Кель- вин и Г. Гельмгольц доказали, что из уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости следует сохранение "циркуляции" С = I* vdl = const, B.1.20a) G) 1) Такое же соотношение непосредственно следует из B.1.7), если положить d/dt = О и учесть уравнение непрерывности divpv = 0. 2.2. Примеры задач гидродинамики Эйлера 99 где интеграл вычисляется вдоль "жидкого" контура 7> т- е. контура, образованного так или иначе помеченными элементами среды и деформирующегося в результате течения среды. Действительно, по теореме Стокса можно написать С = vdl= G) (rotv)dS, B.1.206) — площадь поверхности, натянутой на контур 7- Дифференцируя 2.1.206 по t, получаем (рис. 2.1.2) дС drotv (rotv)[v,dl] = (т) = rot [v,rotv]dS+ [rotv,v]dl = = I* ([v,rotv] + [rotv,v])dl = 0. B.1.21) G) Рис. 2.1.2. К выводу теоремы Кельвина- Гельмгольца: 71 ~~ гладкий контур, пере- ходящий при движении среды в контур 72, d\ — элемент контура, v — скорость среды Здесь было использовано уравнение д — rot v — rot [v, rot v] = 0, B.1.22) которое непосредственно следует из B.1.12) при р = р(р) и fO6 = \7W. Кроме того, мы учли (см. рис. 2.1.2, что дифференциал изменения площади контура за счёт его деформации равен ^-^S = [v, dl]. Впоследствии мы используем и обобщим уравнение Бернулли и теорему Кельвина-Гельмгольца.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Два закона сохранения при течении идеального газа» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
