Простейшая модель среды, которая может быть в гидродинамике 0 — это среда полностью автономных, абсолютно "гладких" капель, которые взаимодействуют между собой только давлением друг на друга по нормали к поверхности капли (рис. 2.1.1) Fp = - n"pdS. (s) B.1.1) Здесь п° — внешняя нормаль к рассматриваемой "капле", dS - скаляр. Эта модель — в предположении изотропии дав- ления, приводит к гидродинамике Эйлера. Она бу- дет прототипом дальнейших, собственно плазмен- ных, гидродинамических моделей, и поэтому рас- смотрим её подробнее. Обозначим объём и плотность "капли" буквами V и р. Тогда ее масса /i = pV. В силу сделанных предположений об автономности капли, можно напи- сать уравнение сохранения массы капли, уравнение Ньютона и условие сохранения энтропии s Рис. 2.1.1. Разбиение сплошной среды на "капли"; п^ — нор- маль к поверхности капли ~dt = 0; B.1.2а) 1) Всюду ниже слова "гидродинамика" и "газодинамика" будут пониматься как синонимы. 2.1. Особенности гидродинамических моделей 95 r/v /i—=FP + Fo6; B.1.26) Вместо уравнения B.1.2в) для энтропии часто используют его эквивалент — уравне- ние энергии, которое возьмём в виде первого начала термодинамики при отсутствии нагрева ifc + P§=0. B.1.2г) at M at 3 Mv^ где ? = -kT -\ —. Здесь d/dt = д/dt + (vV) — субстанциональная производная по времени, учитывающая перемещение капли в пространстве; ?р — сила давления B.1.1), F06 — объёмная сила, действующая в объёме капли (например, сила тяже- сти), s — энтропия единицы массы, М — масса частицы. Приведём интегральные уравнения B.1.2) к последовательно дифференциальной форме, исключив вспомогательную величину V — объём капли. Уравнение непрерывности. Скорость изменения объёма выделенной капли в по- токе определяется, очевидно, выражением ^= lvn°dS B.1.3а) Используя формулу Гаусса-Остроградского при достаточно малом объёме капли, можно записать B.1.3а) в виде ^= [ vn°dS= [div vdV = (div v) V. B.1.36) J J Следовательно, учитывая сохранение массы капли при её движении, имеем о ^+divpv = 0. B.1.4) Это и есть стандартная запись закона сохранения массы. Уравнение динамики. Используя формулу Гаусса-Остроградского, находим ком- поненты силы, обязанные давлению B.1.1): Fpx = - I px°dS = -l^dV = -^V ит.д. B.1.5а) Здесь х° — проекция нормали п° на ось х. Следовательно Fp = -VVp. Полагая Fo6 = Vt, подставляя в B.1.26) выражения для /i, Fp и F06 и сокращая V, получаем уравнение Эйлера для динамики среды: ( ) = "Vp+f' BЛ'5б) 96 Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы Уравнение для энтропии очевидно, будет Ля —+ (vV)S = 0. B.1.6а) Система уравнений B.1.4)-B.1.6а)) должна быть дополнена уравнением состоя- ния вещества (газа) ^-) exp( —1. B.1.66) Здесь 7 = Ср/су — показатель адиабаты. В дальнейшем мы часто будем писать вместо B.1.6а) и B.1.66) уравнение баро- тропности р = р(р). B.1.6в) Баротропными, в частности, являются изотермические (Т = const) и адиабатиче- ские (р = ро (р/роO) течения. Если аналогичным образом преобразовать уравнение термодинамики B.1.2г), то получим д р ( Mv2\ Л ( р ( Mv2\\ Л ,пл^ К + +div NV U + -S- =0. B.1.7) dtM I 2 \М \ / \ 2 Здесь М — масса частицы, w = -fcT — энтальпия, г = |fcT. Если учесть теплопроводность, то в правую часть этого уравнения надо подста- вить divx^VT. kt — коэффициент теплопроводности.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнения Эйлера» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
