Движение частицы в неоднородном высокочастотном поле
В плаз- менных системах часто существуют два характерных масштаба времени или про- странства. Так, например, в магнитосфере Земли электрон вра- Е щается по ларморовской окружности диаметром поряд- ка нескольких сантиметров и в то же время движется по силовой линии, отражаясь от неких "пробок", нахо- дящихся на расстоянии ~ 104км (см. ниже раздел 9.2). Ясно, что в данном случае нас не интересует каждый ларморовский кружок, а интересует усреднённые по вращениям перемещения частицы за достаточно боль- шое время t. Метод преобразования точного уравнения движе- ния в уравнения, содержащие только параметры усред- нённого движения называют "методом усреднения"[56]. В данном пункте мы познакомимся с этим мето- дом на простейшем примере одномерного движения в быстро осциллирующем во времени электрическом неоднородном по пространству поле. Рис. 1.2.3. Электрон в высо- кочастотном резонаторе d2x —w = еЕо(х) sinoot. at1 A.2.17) Такое уравнение описывает, например, движение электрона в плоском высокочастотном резонаторе (рис. 1.2.3) 0. Нас будет ин- *) Заметим, что модуляция плотности в плазменном объёме может в ряде случаев играть роль резонатора для ленгмюровских колебаний (см. гл. 8). 1.2. Движение частиц в электромагнитных полях 59 тересовать тот случай, когда за г — время прохождения электроном масштаба неоднородности поля, последнее совершит большое число осцилляции, т. е. и;т>2тг. A.2.18) Чтобы решить уравнение A.2.17) при условии A.2.18), представим координату ча- стицы х как сумму координаты усредненного положения x(t) и высокочастотного смещения ?(?): Выбор ? уточним условием: т Г 2тг \€(t)dt = O, T=—. A.2.196) J ^ о Подставив A.2.19а) в уравнение A.2.17) и ограничиваясь "линейными" членами ~ {; получим: —г«- + -тго = — [ Ео(х) -\ о°/_, ] sinu;t. A.2.20а) Bб Bб 777/ V и(х) I Формальное интегрирование этого уравнения по t за период Т и последующее деление на Т даёт где т (^smuut) = — ^sinoudt. A.2.20в) о Входящее сюда осциллирующее смещение ?, учитывая его малость при и -^ оо, в первом приближении можно найти из уравнения (fit е -=± = -E0(x)smbjt. A.2.21а) at1 m считая х = const. В результате получаем % A.2.216) Здесь хорошо видно, что ? с ростом и быстро убывает. Подставляя это выражение ? в A.2.206), получаем искомое уравнение, определя- ющее эволюцию усредненной координаты х. d*l = <^щд_Е1 = _дЦ^^ A.2.22а) dt2 \vfiuJ1 дх дх где эффективный потенциал — называемый в данном случае "потенциалом Миллера", равен 2 Таким образом, оказавшись в произвольной точке резонатора, электрон, колеб- лясь, будет смещаться к точке с минимумом Е%. Аналогичным способом можно усреднить траекторию частицы в сильном магнит- ном поле, если ларморовская частота и ^> 1/т, где г — время пролёта масштаба 60 Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели) неоднородного магнитного поля. Так мы придем к очень эффективному "дрейфовому приближению".
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Движение частицы в неоднородном высокочастотном поле» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
