Перейдём теперь к закону сохранения импульса для элек- тромагнитного поля. Начнем с амперовой силы, действующей на рассматриваемый объём: i i i i A.1.8) Максвелл показал, что интеграл A.1.8) можно в общем виде преобразовать в по- верхностный интеграл. А это означает, что объёмную силу A.1.8) можно представить как результат действия неких поверхностных сил, а именно: (iJ)dS. A.1.9) Здесь знак минус связан с выбором направления вектора элемента поверхности dS по внешней к объёму нормали и выбором знака Т (я) — тензора натяжений Максвелла для магнитного поля. В декартовых координатах (см. например [52]) (Я) = Та Tzx ТА ху Lyy zy Txz Туг Tzz 8тг 4тг' НхНу 4тг HXHZ 4тг ' 8тг щ 4тг; 4тг 4тг HyHz 4тг 8тг 4тг' A.1.10) Если в данной точке выбрать оси координат таким образом, чтобы магнитное поле имело одну компоненту поля Hz = Н, то — О 0 f О О о о ~8тг A.1.11) Отсюда видно, что если нормаль к элементу поверхности направлена перпендикуляр- но оси z (рис. 1.1.2а), то сила направлена противоположно нормали и равна О7Г A.1.12) т. е. касательное к границе магнитное поле оказывает давление на эту границу. Величину рн = Н2/S7T обычно называют магнитным давлением 0. Если же нормаль к элементу поверхности направлена по оси z, то на нее действует сила натяжения в том же направлении (рис. 1.1.26), равная dF = ^ О7Г A.1.13) "Ощутимо" формулы A.1.12) и A.1.13) все чувствовали, имея в руках два магнита. Если сводить их одинаковыми полюсами, то они будут отталкиваться, что 1) Полезно запомнить, что магнитное поле Н = 5000 Э = 0,5 Тл создает давление рм ~ ~ 1 кг/см . Но уже магнитное поле 100 кЭ = 10 Тл — а такие поля нужны для ряда ПДС, давит на создающие его катушки с силой 400 кг/см. Поля мегаэрстедного диапазона можно получить только в импульсном режиме. /./. Электромагнитные поля 43 а б Рис. 1.1.2. Воздействие магнитного поля на поверхность плазменного объёма: а —поле па- раллельно поверхности; б — поле перпенди- кулярно поверхности Рис. 1.1.3. Схема для расчёта силы, дей- ствующей на плазменный сгусток в им- пульсной пушке соответствует A.1.12), если в качестве поверхности взять срединную плоскость S. Наоборот, если сводить магниты разноименными полюсами, то они будут притяги- ваться A.1.13). Можно наглядно представить себе действие максвелловских натяжений, если отождествить магнитные силовые линии с растянутыми и одновременно надутыми резиновыми шнурами. Такие шнуры будут, с одной стороны, стремиться сократиться (натяжение), а с другой — оттолкнуться друг от друга (давление). Если граница пересекает силовые линии под углом, то действующая на нее сила будет определяться сложением "сокращательной" и "отталкивающей" способностей поля. В качестве примера использования тензора натяжений рассмотрим ускорение плазменного сгустка в коаксиальной импульсной пушке (рис. 1.1.3), которое про- исходит за счёт взаимодействия азимутального магнитного поля Hqc радиальной составляющей плотности тока jr, текущего между электродами. Факт ускорения на основе A.1.3а) может быть истолкован так же как результат перепада магнитного давления. Для расчёта Fz возьмём тороидальный объём, охватывающий весь сгу- сток. В данном случае отлична от нуля только азимутальная компонента поля, и, следовательно, ¦?• «¦'•"> т. е. сюда входит магнитное давление рн = Я2/8тг на торцы объёма. Если весь ток замыкается через плазму, то при z = z\ магнитное поле обращается в нуль, и поэтому -\\ Fz = - | Hi \zo rdr. A.1.15) Сечение zq было выбрано перед сгустком, т. е. там, где ток течёт только по электро- дам. Тогда в этом сечении, как известно СГ A.1.16) 44 Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели) где J — полный разрядный ток. Подставляя A.1.16) в A.1.15), получаем (независимо от детальной картины токов в плазме) , 4 О--) с1 г\ Изложенные рассуждения справедливы и при стационарном разряде в коаксиаль- ной системе с цилиндрическими электродами. Рассмотрим теперь действие электрического поля на объёмный заряд: F= \qeEdV. A.1.18a) Интеграл берётся по всему пространству, занятому зарядом. Оказывается, что и в этом случае с помощью уравнений Максвелла силу F можно свести к поверх- ностной аналогично 1.1.9: ,, ( )(Е) F = (H)V dS, A.1.186) причём структура Т полностью аналогична A.1.10), если вместо Н подставить Е. Электромагнитные силы, приложенные к объёму, могут сообщить ему вращение. Момент электродинамических сил относительно оси z Mz = \ \ \ferdV = l\ \ \r(^zHr~ jrHz^dV- A.1.19a) Здесь /о — азимутальная компонента силы Ампера. Если поле обладает осевой симметрией, то из уравнения Максвелла A.1.1а) в стационарном случае следует i = fi^: > = -ff^. (U.196) 4тг г дг 4тг dz Используя эти соотношения и уравнение непрерывности divH = 0, можно привести A.1.19а) к виду Mz = —mn°rrHrHe + n°zrHzHe)dS A.1.19в) Здесь, как и в (В. 1.9), используется внешняя нормаль к внешней поверхности. Из (В.2.16) видно, что момент сил возникает только тогда, когда есть азимутальное Hq и полоидальное (Hr, Hz) поля одновременно.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Тензор натяжений» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
