Применение метода Томаса — Ферми к теории периодической системы элементов
Попробуем с помощью метода Тома- са— Ферми обосновать порядок заполнении электронных обо- лочек. В частности, вычислим минимальные значения Z. при ко- торых в атомах возможно заполнение S-, /?-, й-, и /-состояний. Эти значения Z могут быть найдены, исходя из следующих квазиклассических представлений (Ферми, 1928). Как известно, в классической теории момент количества дви- жения частицы L связан с импульсом р соотношением: Отсюда следует, что L=[rp] L2 где рп — проекция импульса на направление, перпендикулярное радиус-вектору г. Очевидно, что квадрат проекции импульса р1п не может превосходить значения квадрата максимального импульса, кото- рый мы обозначим через Р. Поэтому при заданном Р и > воз- можны такие значения момента количества движения L, которые удовлетворяют неравенству: Р > —«~. B5.67) Как было показано в § 13, при квазиклассическом рассмотре- нии проблемы атома квадрат момента количества движения § 25. Строение сложных атомов 381 следует полагать равным [см. A3.99)]: B5.68) последняя формула практически является некоторым компро- миссом между боровской L% = Ь2A + IJ и квантовомеханической L2 = ti2l(l +1) формулами для квадрата момента количества движения. Как известно, максимальный импульс Р = /?Маьс связан с плот- ностью электронного газа р0 выражением F.11): \ B5.69) Плотность электронов р0 может быть найдена из уравнения То- маса— Ферми, которое, как мы указывали, решается лишь при- ближенными или численными способами. Хорошей аппроксима- цией ро, следующей из решения уравнения Томаса — Ферми, является выражение [см. B5.58)]: ё^"' B5-70> причем коэффициент А, был найден нами вариационным методом Ритца. Подставляя указанные значения для Р2 и L2 в неравенство B5.67), получаем: \ 16 ; г ^ г2 Вводя новую переменную Хг = х, имеем: <ГТ Х >-§-, B5.72) где 1 W 1A N 3. B5.73) Из неравенства B5.72) видно, что как при х-*0 (/*->0), так и при х—> оо правая часть B5.72) становится больше левой. По- этому электроны в атоме смогут обладать заданным значе- нием /, когда х лежит в области Х\ < х < х2, при которых .удо- влетворяется неравенство B5.72). Здесь хх и х2 — корни урав- нения е~^~-^. B5.74) Условием же появления состояний с заданным значением I является раьенстьо обоих корней: 882 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ В этом случае мы должны приравнять не только сами функции, но и их производные, т. е. наряду с равенством B5.74) полу- чаем: 1 ~JVI D Т v-2 B5.75) Эти два соотношения будут удовлетворены при т. е. при = 9е~2 D = 9е Подставляя сюда значение для D из B5.73), находим Z, при котором впервые появляются электроны с заданным /: -1K, B5.76) где е=2,718... — основание натуральных логарифмов, а коэф- фициент у = 0,158. Если в аналогичном расчете воспользоваться численным ре- шением уравнения Томаса — Ферми, то для коэффициента у найдем весьма близкое значение ут_ф =0,155. Отсюда мы еще раз убеждаемся, что плотность B5.70) предста- вляет собой хорошую аппроксимацию плотности, следующей из численного решения уравнения Томаса — Ферми. Подсчитаем с помощью формулы B5.76) значения Z, при которых могут начать заполняться s-, p-, d-, /-состояния. Результаты вычисления даны в таблице 25.3. Первая строка дает дробные значения Z, вычисленные по формуле B5.76) с <ут _ф = 0,155. Во второй строке даны ближайшие со стороны больших значений целые значения Z. В последней строке табли- цы приведены эмпирические значения чисел первого появле- ния Z, а также наименование соответствующего элемента. Таблица 25.3 Числа первого появления уровней с данным / Теоретическое значение Z (по То- масу - Ферми) Эмпирическое значение Z 0,15 1 4,2 5 5 (В) 19,4 20 21 (Sc) 53,2 54 58 (Се) § 26. Молекулярные спектры 38$ Из этой таблицы видно, что подобная приближенная теория находится в хорошем согласии с экспериментальными данными. Заметим, кстати, что совсем точное совпадение получается, если для коэффициента y вместо 0,155 взять 0,169. Хорошо известно, что у легких элементов (Z=l, 2, 3, 4) могут заполняться только s-термьк Заполнение р-термов начинается с бора (Z = 5), что полностью совпадает с теоретическими дан- ными. Из таблицы 25.3 видно (несмотря на некоторую грубость статистической модели), что заполнение оболочки 3d начинается, как можно было ожидать, не с калия (Z=19), а отодвигается до элемента Sc (Z = 21), т. е. пока не будет построена 4s-o6o- лочка. Точно так же модель Томаса — Ферми объясняет некото- рую «задержку» в заполнении 4/-оболочки, которая могла бы начать заполняться у Ag (Z = 47). Однако в согласии с теорией ее заполнение должно быть отодвинуто и начинается лишь у це- рия (Z = 58), образуя группу лантанидов. Из формулы B5.76) следует, что заполнение 5^-оболочки (/=4) впервые могло бы начаться у элемента с Z= 124. Таким образом, модель Томаса — Ферми дает весьма убеди- тельное объяснение о порядке заполнения оболочек в сложных атомах. Кроме того, с помощью этой модели мы нашли радиусы тя- желых атомов, а также энергию связи B5.66). Модель Томаса — Ферми позволяет учесть также влияние экранирующих электронных слоев на рассеяние быстрых элек- тронов атомами км. A4.19)], на тормач»ое излучение, на рожде- ние электронно-позитронных пар и т. д.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Применение метода Томаса — Ферми к теории периодической системы элементов» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
