Состояния с отрицательной энергией. Дираковская теория «дырок». Открытие позитрона
Наряду с состояниями с положи- тельной энергией (е = 1) [см. решение B2.18)] теория Дирака допускает также решения, соответствующие отрицательным энергиям (е = — 1) Е = —сЬК. B2.21 б) Заметим, что решения с отрицательной энергией не являются характерными только для теории Дирака — они должны появ- ляться в любой релятивистской теории, включая даже классиче- скую. В самом деле, в релятивистской механике энергия сво- бодной частицы, как известно, связана с ее импульсом и массой покоя соотношением, допускающим два равноправных решения: Е = ± У&р2 + т\с\ причем две области значений энергии (положительных и отри- цательных) оказываются разделенными интервалом 2тос2 (фиг. 22.1). Состояния, соответствующие отрицательной энергии» с первого взгляда кажутся не реальными, поскольку область от- рицательных энергий простирается до бесконечности (Е = =—оо), и поэтому не должно существовать наинизшего энерге- тического состояния. Это означает, в частности, что ни одно из обычных состояний не может быть устойчивым, ибо всегда ЧАСТЬ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА возможен спонтанный переход в более низкое энергетическое 2 состояние. Кроме того, частица *тос с отрицательной массой (отри- цательной энергией) должна об- Е~0 ладать рядом странных свойства -т0с2 например, притягиваясь частицей с положительной массой, она должна отталкивать последнюю., В частности, при гипотетиче- ском взаимодействии двух элек- тронов, обладающих различным ской частицы. знаком массы, электрон с поло- жительной массой должен «убе- гать», а электрон с отрицатель- ной массой должен его «догонять», так чтобы центр тяжести (с учетом отрицательной массы) оставался бы неподвижным. В классической физике состояния с отрицательной энергией особых трудностей не вызывают, ибо при движении частицы ее энергия может изменяться только непрерывным образом и пе- реходы из состояния с положительной энергией в состояния с отрицательной энергией, когда энергия меняется скачком на величину Д? > 2тос2, являются невозможными. Поэтому, исклю- чив в начальный момент времени состояния с отрицательной энергией, мы можем в дальнейшем их вообще не рассматривать. Совершенно иное положение в квантовой теории, согласно которой возможны переходы между состояниями не только не- прерывного, но и дискретного спектра. Теперь состояния с отри- цательной энергией не могут быть механически исключены, так как вероятность перехода между уровнями с энергией + т0с2 и — ШоС2 оказывается отличной от нуля. Чтобы избежать перехода электронов в состояние с отрица- тельной энергией, Дирак предложил A931) считать все уровни с отрицательной энергией заполненными электронами (фиг. 22.2), благодаря чему электроны с положительной энергией не могут в обычных условиях переходить на эти уровни. Допустим теперь, что гамма-квант с энергией е > 2га0с2, дей- ствуя на электрон вакуума, т. е. на электрон с отрицательной энергией, переводит его в состояние с положительной энергией. В этом случае вместо поглощенного, например, ядром гамма- кванта (фиг. 22.3) появляются электрон с положительной энер- гией и одновременно «дырка» в фоне заполненных электронами отрицательных энергетических уровней. Решающий успех гипотезы Дирака заключается в том, что эту «дырку» он интерпретировал как частицу с положительной массой, равной массе электрона, но с зарядом, противополож- 22. Полное решение уравнения Дирака 2тос2 315 ^ - Фиг 22.2. Схема нулевого состояния Фиг 22.3 Схема образования пары электронно-позитронного вакуума электрон — позитрон. ным заряду электрона (позитрон). Действительно, пусть в на- чальный момент частицы отсутствуют, тогда «нулевая» энергия фона Етк равна сумме энергий электронов в отрицательных энергетических состояниях п_: а «нулевой» заряд равен: с-вяк "~~ B2.22) B2.23) Таким образом, когда реальная частица отсутствует с точки зрения теории «дырок», это означает, что все состояния с поло- жительной энергией свободны, а все состояния с отрицательной энергией заняты. Это состояние мы примем за нулевое состоя- ние (фиг. 22.2). В случае же перехода электрона из состояния с отрицатель- ной энергией я_ в некоторое состояние с положительной энер- гией п+ общее изменение энергии системы Д? = ?я + S' Е , - 2 Е, B2.24) Д? = ?п+ - ?^ - ?„+ + ! ?Л_ | B2.25) или будет уже соответствовать сумме положительных энергий двух образующихся частиц К Аналогичные рассуждения, проведенные в отношении заряда, показывают, что знак заряда одной из об- разовавшихся при этом частиц, соответствующей «дырке», 1 Штрих у символа суммы B') означает, что суммирование по всем состояниям п_, за исключением состояния п_^=п^% 316 ЧАСТЬ Tt РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА противоположен знаку заряда электрона* Таким образом, переход электрона из состояния с отрицатель- ной энергией в состояние с положительной энергией (очевидно, в результате поглощения гамма-кванта с энергией больше, чем 2nioC2) ведет к рождению двух частиц. В этом случае незапол- ненное состояние электрона с отрицательной энергией («дырка») может рассматриваться как состояние, занятое частицей с поло- жительным зарядом +е0 и положительной энергией [. Такая ча- стица, предсказанная Дираком, получила название «позитрон» и была открыта Андерсоном A932) в составе космических лу- чей. Теперь теория Дирака естественным образом включает в рас- смотрение наряду с электроном (частицей) позитрон—антича- стицу, волновая функция которого подчиняется уравнению Ди- рака с положительным значением энергии и положительным знаком заряда (см. ниже). Последняя теория не исключает возможности процесса, об- ратного только что рассмотренному: при наличии «дырки» электрон с положительной энергией может перейти на свобод- ный уровень состояний с отрицательной энергией. В этом слу- чае электрон и позитрон превращаются в гамма-кванты. Законы сохранения энергии и импульса, которые должны соблюдаться при этом превращении, требуют, чтобы число гамма-квантов было бы не менее двух.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Состояния с отрицательной энергией. Дираковская теория «дырок». Открытие позитрона» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
