Исследование спиновых свойств свободного электрона
Ис- следуем прежде всего спиновые свойства частиц, ограничиваясь лишь состояниями с положительными энергиями (е = 1). Тогда волновая функция (для случая, когда импульс направлен по- оси г) принимает вид: с, к к B2.18) Оказывается, можно ввести такое понятие спина, когда не только его составляющая вдоль импульса, но и вообще любая составляющая спина (без орбитального момента) остается ин- тегралом движения. Этот сохраняющийся в случае свободного движения спин равен (в единицах 1/2h) и. 0_ k(ak) ok2 - к (ok) B2.19) Сохранение спина, определяемого равенством B2.19), следует из того обстоятельства, что его любая составляющая коммути- рует с гамильтонианом B2.2). Если импульс направлен по оси 2, то составляющая опе- ратора 0° по импульсу а0 и составляющие, направленные ' Более подробно см.- Сб под ред А Л Соколова и нова «Ошхротронное излучение». М., «Наука», 1У66. M. 312 ЧАСТЬ ТГ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА перпендикулярно к импульсу а°х и о0, соответственно равны Обозначая собственные значения этого оператора через находим: для продольной составляющей $1 = J г|)+а3г|) Л = С\С\ - CliC-i; для поперечных составляющих 5г? = J 'Ф+ Если мы выберем волновую функцию как сумму состояний, обладающих различной энергией (в том числе и отрицатель- ной), то при вычислении средних значений временные члены исчезнут, так как оператор обобщенного спина коммутирует с гамильтонианом. Некоммутативность же различных операто- ров, друг с другом являющихся в то же время интегралами дви- жения (т. е. коммутирующими с гамильтонианом), говорит о том, что система является вырожденной (заданному импульсу и энергии могут соответствовать различные направления спина), и поэтому средние значения вектора s° зависят от различных комбинаций амплитуд С\ и С_ь Можно показать, что вектор s° является трехмерным единичным вектором, так как (s®J + (slf -Ь 4- (^зJ == (CiCi 4- CliC^iJ == 1 и при лоренцевых поворотах пре- образуется по закону 5з° ~ 2 ?i где pi-pcos В = /(P, ~ P cos OJ + p2(l — pf) sin2 #). B2.21) k Здесь ф{ — с -jr-— скорость частицы в первоначальной системе координат, направлена по оси г, причем с|3 — скорость штрихо- ванной системы координат, составляющая с осью г угол i% должна лежать в плоскости zx. Под s'0 следует понимать про- дольную составляющую спина относительно нового направления § 22. Полное решение уравнения Дирака 31$ импульса. Отсюда видно что трехмерный единичный вектор в результате лоренцевых преобразований остается трехмерным единичным вектором. Определим спиральность, т. е. вращение вектора поляриза- ции относительно импульса, когда s% = 1 (Сг = 1, С_2 = 0). В этом случае, как видно из B2.18), o^ = ioft. B2.21а) Учитывая еще зависимость волновой функции от времени <ф ~ e-tcKt^ находим, что вращение будет совершаться в плоско- сти ху (от оси х к оси у), расположенной перпендикулярно к импульсу (ось г). Следовательно, в правой системе координат случай 5з=1 описывает правовинтовую спиральность, а в левой системе координат — левовинтовую. Этот результат является вполне естественным, так как в скалярном произведении s°6 = = (s°k°) k° — единичный полярный вектор импульса, a s° — еди- ничный аксиальный вектор спина. При переходе от правой си- стемы координат к левой направление k° изменяется на проти- воположное, a s° остается без изменения, т. е. в этом случае из- меняется лишь математическая форма описания спиральности.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Исследование спиновых свойств свободного электрона» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
