Трансформационные свойства волновой функции при пре- образованиях Лоренца и пространственных вращениях
Соглас- но специальной теории относительности физические законы не должны зависеть от выбора лоренцевой системы координат. По- этому как уравнение Максвелла, так и уравнение Клейна — Гор- дона и уравнение Дирака должны быть инвариантными отно- сительно преобразований Лоренца, 260 ЧАСТЬ ТТ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Исследуем трансформационные свойства волновой функции Дирака. С этой целью прежде всего запишем преобразования Лоренца ct' = c/ch y — x shY, x' ~ xohy — ct shy, A8.35) где У — У* z — <,y ch v — —=rr=^, sh y = , 8 = — Этому же преобразованию должен удовлетворять любой че- тырехмерный вектор и, в частности, плотность заряда и тока: Исходя из определения этих величин, по теории Дирака имеем: <ф'+я|/ = <ф+ (ch y - a! sh y) г(? == ^+e~ ^а г(), •ф/+а^' = г|з+ (а! ch y - sh y) -ф = ф+а^-va ^ A8.36) ^+a2. З'Ф' ^ ^+a2, зФ- Здесь мы приняли во внимание, что e-va, — ущ y^ = chY~a^hY» поскольку af*= I, a^+1 == ap где п — целое число. Чтобы удовлетворить последним соотношениям, мы должны положить: У я])' = (ch \ ~ a, sh |) ф = е~~ а % Y я1)'+ = ф+ (ch-|- - a, sh-j) = г1)+^~~ а'. A8.37) Тогда принимая во внимание, что а{е~т а' - е~ 2 a'ab a2e"~ °' == ^т\2, A8.38) легко показать справедливость соотношения A8.36). Из A8.37) ьидно, что волновые функции преобразуются не как вектор (це- лые углы y) и не как тензор (двойные углы y), а как полувек- тор, преобразование которого характеризуется углом —-• ве- личины, преобразующиеся по закону A8.37), получили назва- ние спиноров или тензоров половинного ранга. Аналогичным способом можно показать, что при обычном пространственном вращении (например, вокруг оси z на угол ф) спинор преобразуется по закону H>'=.e'°'Ti|>, Ц)'+ -ф+е"'°'т. A8.39) § 19. Движение дираковского электрона в поле центральных сил 261 Последние соотношения следуют из преобразовании для векто* ра тока: ?у = 4 cos ф - ]х sin ф, A8.40) которые в теории Дирака могут быть представлены в виде: а2 A8.41) и т. д. Подставляя сюда значения для \|?' из A8.39) и принимая во вни- мание, что ф ф а,е г = a. cos —¦ + to* sin -тг == cos ~ = га3 sin ~k «, == е l au i l\2l32/\ 2 li2/i ly а3е 2 == е приходим к соотношениям A8.40).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Трансформационные свойства волновой функции при пре- образованиях Лоренца и пространственных вращениях» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
