Переходя к операторам в линеаризованном с помощью матриц а^ реляти- вистском соотношении между энергией и импульсом A8.1), мы получаем уравнение Дирака для свободной частицы (Е — Н)г|> -0, A8.20) где операторы Е и р, как и обычно, равны а гамильтониан Н определяется выражением Н = с(ар) + р3т0с2. A8 21) При движении электрона в электромагнитном поле, задан- ном векторным и скалярным (Л, Ф) потенциалами, мы можем пользоваться теми же уравнениями A8.20) и A8.21), только в соответствии с общими правилами волновой механики в каче- стве операторов энергии и импульса должны быть взяты их обобщенные значения [см. A7.5)]: F » й А - еФ, Р = - ihV - -1 А. A8.22) Поэтому волновое уравнение Дирака при наличии электро- магнитного поля может быть записано в виде: (F - <?(аР) - р*т0с2)Ц = 0. A8.23) 258 ЧАСТЬ Т! РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА В соответствии с числом строк и столбцов матриц а и р<? волновая функция t|? должна иметь четыре компонента, которые мы объединим в виде матрицы, состоящей из одного столбца: A8.24) понимая под сопряженной функцией эрмитово-сопряженную матрицу, состоящую из одной строки. Таким образом, матричное волновое уравнение Дирака A8.23)j эквивалентно системе четырех уравнений: (F - mQc2) Ц{-с (Рх - iPy) ф4 - сР^з = 0, (F - т0с2) ф2 - с (Рх + iPy) ф3 + cPzq4 = 0, A826) (F + т0с2) г|L - с (Рх + iPy) я|), 4- сР2^2 - 0. Комплексно-сопряженное волновое уравнение также может быть представлено в виде одного матричного уравнения: + (F - с (аР) - РзШоС2) = 0, A8.27) в котором действие операторов ifi— и —ibV на волновую функцию, стоящую слева от них, следует понимать в несколько необычном смысле -ife+aV-*/ftVt|>+f ^+ih~-> - ib — ^. A8.28) Таким образом, уравнения A8.23) и A8 27) могут быть за- писаны в виде: ^~еф)ц)-с(а(-/йУ~|л))^-р3тоЛ|)-О, A8.29) -~ - ^ф) г|)+ - с( (^V -|Л] ф+а| - то^+р3 = 0. A8.30) Умножая уравнение A8.29) слева на \J?+, a A8 30) справа на \|) и вычитая ьюрое уравнение из первого, получаем соотношение: .7 ^7 ^+It+dlv Ф + «^-0, A8.31) § 18. Уравнение Дирака 259 которое можно рассматривать как уравнение непрерывности для плотности вероятности р и плотности тока /2 -JLp + divJ-O, A8.32) где Из последней формулы видно, что матрицу са можно интер- претировать как оператор скорости. Если раскрыть равенства A8.32), найдем; "Ф1 l^ilb + 'Ф'Ф} + ty*$4> A8.33) т. е. ро является матрицей, состоящей из одного элемента, и по-» этому представляет собой обычную функцию. Точно так же легко показать, что 1х ее Заметим, что в отличие от уравнения Клейна — Гордона плотность ро является положительно определенной величиной. Однако это не означает, что в теории Дирака р0 следует рас- сматривать как плотность числа частиц. Так же как и в теории Клейна—- Гордона, в теории Дирака наряду с электронами должны существовать частицы противоположного заряда—• позитроны (см. ниже § 22).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Дирака. Плотность заряда и тока» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
