Для «линеаризации» ре- лятивистского соотношения между энергией и импульсом или «извлечения» квадратного корня из четырехчлена представим [A7.1) в следующем виде: з ml&^c^ аЛ, A8.1) где Ро=тос, Рх^рХУ р2=Ру, Рз^Рг- A8.2) При этом мы имеем: Е2 = с2 Д AVV = с2 (Р2 + тУ)- Чтобы установить, каким условиям должны удовлетворять ве- личины сс|л, возведем обе части соотношения A8.1) в квадрат. Тогда в случае, если импульсы р^ и р^, коммутируют друг с другом *, найдем Т р„/у (Л %%) Последнее равенство совпадает с A8.3) только в том случае, когда 26цц/, A8.5) т. е. если все четыре величины а^ антикоммутируют друг с другом , = 0, \i ф \i' A8.6) и квадрат каждой из них равен единице с?=1. A8.7) Напомним, что аналогичными свойствами обладают также двух- рядные матрицы Паули (§ 16) 0 1\ /0 -/ oj GHi о а именно все они антикоммутируют между собой [см. A6.28)], и квадрат каждой из них равен единице [см. A6.27)]. Однако для «извлечения» квадратного корня из четырех- члена необходимо иметь четыре соотношения A8.5) (ц = 0, 1, 2, 3), а не три, которым удовлетворяют матрицы Паули. 1 Они коммутируют друг с другом и при переходе к операторам, когда отсутствует электромагнитное поле. Таким образом, в квантовом случае сна- чала необходимо извлечь кьадратный корень из оператора для свободной ча- стицы, а затем обобщить полученное уравнение на случай наличия полей. 256 ЧАСТЬ II РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Для этого Дирак предложил взять совокупность четырех- рядных матриц оп и рп> связанных с двухрядными матрицами при помощи соотношений О7 а' п О' 1'\ /0' -t/'\ //' О'\ г/ r\f 1 Р2 === \ -г/ г\/ / Рз == 1 г г if ]• A8.10) где а^ — матрицы Паули, /0 0\ /1 0\ 0'= и /' = К f . A8.11) V U U/ \U1/ \ / \ / Эти четырехрядные матрицы удовлетворяют тем же соотноше- ниям, что и матрицы Паули: 10 0 0' A8.12) ,0001 О\02 == "~~ Cf2Oi = /о»з И Т. Д. A8. 13) PiP2= ~ Р2Р1 = Фз и т- Д- A8.14) Последние соотношения мы можем записать в виде: К этим равенствам мы должны добавить коммутативность матриц On и р„': что проще всего доказать непосредственным вычислением, ис- ходя из формул A8.9) и A8.10). В качестве матриц а^ в равенстве A8.1) Дирак предложил выбрать следующие: 0' ^ ^ 1 »lt 2, 3) V 0'\ К A8.17) § 18. Уравнение Дирака 257 которые согласно A8.15) и A8.16) удовлетворяют условиям A8.5). В самом деле, а2а3 + а3а2 = р2 (о2о3 + а3а2) = О, аощ + сцао = oY (p3pj + pjp3) = 0 и т. д. A8.18) Расписывая эти матрицы, мы найдем а2: «о = РзЧ п п _ 1 п - A8-19)
Ви переглядаєте статтю (реферат): ««Линеаризация» оператора энергии» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
