Построим теперь теорию возмущении применительно к вырожденному случаю, когда одному и тому же собственному значению энергии Еп при отсутствии возмуще- ния соответствует / собственных функций Тогда, очевидно, любая линейная комбинация этих функций <=SCX A5.23) является решением волнового уравнения в нулевом приближении Как и в случае невырожденных состояний, любое частное реше- ние однородного уравнения A5 6) должно быть ортогональным правой части неоднородного уравнения Для доказательства этого умножим A5 7а) слева на *ф°* и проинтегрируем по всему пространству. Тогда получаем: J i|>°* {К ~ ЩУп(Рх = - J Ф°„;(Е'а - V) фРх. A5.24) Применяя теорему о перебросе производной [см. ^7.9)]> имеем: cPx = - J ЩЕ'п - V')rnd3x. A5 25) Отсюда, замечая, что ifjj* является решением уравнения Шре- дингера (Е°п — Н°)г|)?* = 0, доказываем указанную ортогональность: f <* (К - V) У С°< ^3* = 0. A5.26) Без ограничения общности можно допустить, что все собст- венные функции г|^ ортонормированны 1. Тогда, учшывая, что 1 Если функции г^ не являютси оргонормированными, то путем линейных г' преобразований из них всегда возможно построить новые функции, обладаю- щие условием ортонормированности. 220 ЧАСТЬ Т. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА вместо A5.26) находим уравнение: / С\(Е'п - V'H) = 2' С\У'ц» A5.27) где A5.28) A5.29) а штрих у символа суммы означает, что суммирование ведется по всем i\ кроме Г = L Поскольку индекс i в A5.27) может принимать любые значе- ния от 1 до /, для определения искомых неизвестных величин энергии Еп и коэффициентов С? мы получаем систему / одно- родных уравнений: A5.30) - Cty'n + С°2{Еп - V'zd - ... - Cty'y = 0, -cty'n-dW'n- ... +c°l(E'n-v'li)=o. Поскольку волновая функция ф® должна еще удовлетворять условию нормировки | A5.30а) то как поправка Е'п к энергии Еп невозмущенного состояния системы, так и коэффициенты С? (а тем самым и -ф^) станут при этом однозначно определенными. В частности, замечая, что система A5.30) имеет нетривиаль- ное решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю, для нахождения Е'п получаем уравнение (En-V22I •.., V21 ..., (En-V',1) = 0, A5.31) получившее название векового, унаследовав этот термин из не- бесной механики. Если это вековое уравнение имеет для определения энергии возмущения Еп несколько корней (максимальное число их мо- § 15. Стационарная теория возмущений и ее простейшие приложения 221 жет равняться /), то каждому из них будут соответствовать со- вершенно определенные коэффициенты С?. Благодаря этому учет первого приближения для энергии может понизить или во- обще снять кратность вырождения волновой функции уже в ну- левом приближении.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вырожденный случай» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
