Для того чтобы найти эффективное сечение рассеяния не только при малых, но и боль- ших значениях ух и Y2 [см. A4.27), A4.28), A4.29)], мы должны решение искать в виде суммы парциальных эффективных сече- ний, каждое из которых зависит от орбитального квантового чи- сла /. Тогда мы должны прежде всего падающую плоскую волну Фплд = eikz = eikr cos °. A4.30) hk распространяющуюся вдоль оси z со скоростью v = жить по сферическим волнам, т. е. согласно A2.52) представить в виде ~ sin (kr - -?) <2/+1> V kr 2l РЛсозЬ). A4.31) При наличии потенциальной энергии V® асимптотическое вы- ражение для волновой функции частицы стремится [см. A2.45) и A2.58)] к пределу sin [kr - ~- + A4.32) причем в первом приближении фазу dj можно определить фор- мулой A2.60). Однако в некоторых частных случаях она может быть найдена более точно (см. ниже). Рассеянная волна, очевидно, равна: ^^)'-ilBl +1)]- Неизвестный коэффициент Ci может быть найден из условия, что функция ^рассеян должна представлять собой расходящуюся сфе- рическую волну. Для этого коэффициент при сходящейся сфери- ческой волне е ч 2 / необходимо положить равным нулю. Тогда трассеян=== ~ ^ * § 14. Упругое рассеяние частиц силовым центром 209 Функция f($) является амплитудой рассеяния [см. A4.15)], для которой по точной теории находим оо /(в)=—SB/ +1№ -l-p' (cos^- <!4-33> Как известно, дифференциальное эффективное сечение, харак- теризующее рассеяние частиц на угол #, равно отношению ве- роятности рассеянной частице пройти в единицу времени через элемент сферической поверхности dS = r2dQ ^рассеян = Чассе-Л-ссея/ <«> = °| f (О) ? ^ к числу частиц, падающих в единицу времени на единицу по- верхности, перпендикулярной их скорости пад тпадтпад Отсюда для дифференциального эффективного сечения находим выражение dW |^il|/(#)!22iddfl A4.34) Здесь, предполагая аксиальную симметрию рассеивающего поля, мы положили телесный угол равным Подставляя сюда полученное значение для амплитуды рассеяния и учитывая при интегрировании по углам условие ортоюнально- сти для полиномов Лежандра зх J Pt (cos О) Pv (cos Ф) sin Ф Л> = ^-тр в/Гэ находим следующее выражение для полного эффективного се- чения: оо <*= 2<У/, A4.35) где парциальные сечения равны: (TZ = |^B/-И) sin25j. A4.35a) При / = 0 мы имеем s-рассеяние, при I = 1 — р-рассеяние и т. д. Сопоставляя друг с другом формулы A4.35) и A4.33), а также учитывая, что РД1) = 1, докажем так называемую оптическую 14 ^ак, 328 210 ЧАСТЬ Т. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА теорему устанавливающую связь между полным эффективным сечением и мнимой частью (Im) амплитуды /(О), соответствующей рассея- нию вперед * = 0. Заметим, что точное выражение для амплитуды рассеяния [см. A4.33)] переходит в приближенное найденное в борновском приближении [см. A4.15)], когда выполняются следующие два условия: 1) 6z<Cl, и поэтому для амплитуды рассеяния A4.33) можем написать: / + 0*Л(cos*). A4.356) 2) для 6i имеет место приближение A2.60), согласно которому сю 6<= - ^W \ V ® г/'+|''{kr) dr' A4'3б) о В самом деле, подставляя A4.36) в равенство A4.356), находим: оо оо /(*)=--^ JrV (г) dr 2 j B/ +1)Р« (cos *)/?+.,,. A4.37) 0 / = 0 Принимая во внимание далее соотношение сю U (Я + 1) Р, (cos в) /?+у, (кг) = | -^ , (Н.38) / = 0 где амплитуду рассеяния A4.356) можно привести к виду, найден- ному в борновском приближении [см. A4.15)] оо /(«)=- -|р- J r sin %rV ® dr. A4.39)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Парциальные эффективные сечения» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
