Допустим, что в течение времени t^CQ частица была свободной, т. е. двигалась равномерно и пря- молинейно с импульсом р = Ък и энергией Е — 2т ь Начиная с момента времени 7 = 0, пусть на нее начинает дейст- вовать возмущение, характеризуемое потенциальной энергией V®. Тогда частица обладает определенной вероятностью перей- ти в другое состояние с импульсом pf = ЪК и энергией Е' = / k'2 \ = сЪК' \К! — ~2k"/ т* е' в РезУльтате Действия возмущения дол- жно произойти рассеяние частицы (фиг. 14.1). Волновые функции начального и конечного состояний, опи- сывающие свободное движение (нулевое приближение), будут в ЭТО1Л случае равны [см. D.62)]: e-icKt+ikr, 'r, (ИЛ) гдг L3 —объем основного куба периодичности, а составляющие импульса kt и k[ (/=1, 2, 3) связаны с целыми числами пь и п\ где коэффициенты С и С зависят соответственно от импульсов k и k'. При учете энергии возмущения V — V® решение будем искать по нестационарной теории возмущений, согласно которой следует предположить, что вероятностные коэффициенты С дол- жны стать функциями времени. Поскольку в начальный момент времени частица находилась в состоянии fe, мы должны поло- жить [см. A0.16)] Сг(^ = 0) = в*^. A4.4) Тогда для коэффициентов C'{t) {kf Ф k) получаем [см. A0.17)]: t С'=-\ \ dte'^Vk'k, A4.5) О где Подставляя сюда вместо волновых функций их значение A4.1), найдем после интегрирования по времени 202 ЧАСТЬ Т. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА § 14. Упругое рассеяние частиц силовым центром 293 где VH = J el*rV ® dH, и => k - k'. A4.6) Отсюда для вероятности перехода имеем: w- — VlC'i2- — Vil/ |2 2*inct (К'-К) /147v Учитывая далее равенство A0.26) STiKK-~K)]=b«'-V> 04.8) мы приведем A4.7) к виду Наличие б-функции под знаком суммы приводит к сохранению энергии рассеивающейся частицы, т. е. К! = К. Такое рассеяние называется упругим К При переходе в равенстве A4.9) от суммы к интегралу мы должны согласно A4.2) использовать соотношение Щ = k'2dk'dQ = kQk'dK'du. A4.10) Обычно рассеяние характеризуют эффективным сечением, рав- ным отношению вероятности перехода w к числу частиц N, па- дающих в единицу времени на единицу поверхности S = 1 см2, перпендикулярной падающему пучку частиц. На эту поверхность в единицу времени, очевидно, попадут те частицы, которые рас- положены от нее на расстоянии, не превышающем скорости ча- стицы v, т. е. находящиеся в объеме vS = v. Это число Af равно произведению плотности числа частиц ро = L~3 на объем, числен- но равный скорости частицы С пОхМощью соотношений A4.9) — A4.11) для эффективного сечения рассеяния находим следующее выражение: , <p)dQ, A4.12) где подынтегральное выражение, характеризующее число рас- сеянных частиц, попадающих в телесный угол dQ (dtl = 1 В качестве примера неупругого рассеяния можно привести тормозное излучение, когда при рассеянии электрон испускает фотон, благодаря чему К'<К. 204 ЧАСТЬ Т НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА = sin ftdfidq) (Ф и ф — сферические углы рассеяния), называется дифференциальным эффективным сечением. Оно равно: НJ^2- (!4ЛЗ) В частности, когда рассеивающий центр обладает сферической симметрией, имеем: = J V где dQ! — телесный угол в пространстве вектора г, в то время как в формуле A4.12) dQ — телесный угол в пространстве век- тора ft'. Интегрируя последнее выражение по телесному углу, найдем: оо — r sinycrV ® dr. о Отсюда видно, что дифференциальное эффективное сечение упругого рассеяния равно: где K = |*-*'l = 2?sin-|-, A4.14a) а величина rsin%rV®dr A4.15) о называется амплитудой рассеяния. Формула A4.14), описывающая упругое рассеяние частицы в первом приближении теории возмущений, носит название бор- новского приближения. Заметим, что эта же задача может быть решена и по стацио- нарной теории возмущений, так как потенциальная энергия вза- имодействия не зависит от времени. Однако для получения эф- фективного сечения рассеяния мы использовали нестационарную теорию возмущений, математический аппарат которой обладает большей общностью. Он, в частности, позволяет решать многие задачи современной квантовой электродинамики с учетом взаи- модействия электронов с вторично квантованным электромагнит- ным полем. Выражение для а(#), найденное по методу теории возмуще- ний, имеет определенные границы применимости. В случае корот- кодействующих сил (ядерные силы, нейтральный атом, непрони- § 14. Упругое рассеяние частиц силовым центром 205 цаемая сфера и т. д.), когда ими на расстояниях г от центра, пре- вышающих некоторый эффективный радиус а, можно пренебречь, величина эффективного сечения (даже когда эти силы создают барьер, абсолютно непроницаемый для частиц) не может превы- шать порядка их геометрического сечения (если при этом не воз- никает резонансного рассеяния, см. ниже). Поэтому для коротко- действующих сил находим следующую область применимости метода возмущений:
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Борковское приближение» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
