Поскольку задача о ро- таторе является задачей на центральные силы, угловая часть описывается шаровыми функциями, а для определения радиаль- ной функции согласно A1.21) имеем: l® = 0. A2 1) Здесь мы положили потенциальную энергию равной нулю и под- ставили согласно A1.51) Х — 1A+\). Поскольку для ротагора /- = #== const, функция R® =R(a) =const, т. е. V~i?(a) = 0. От- сюда для энергии Ei найдем значение _ п 9 Согласно A2.2) энергия ротатора Е} зависит только от орби- тального квантового числа /, магнитное же квантовое число, ха- рактеризующее проекцию момента L на ось z (т. е. ориентацию момента в пространстве), в выражение для Еь не входит. Однако соответствующие собственному значению Е\ собственные функ- ции К/71 [см. A1.67)] зависят еще и от т. Поско~ьку т может изменяться от —/ до -И [см. A1.63)], каждому значению энер- гии Ei будет соответствовать B/4-1) взаимно ортогональных соб- ственных функций, описывающих состояния ротатора, отличаю- щиеся лишь ориентацией момента L относительно оси г. В этом случае говорят, что уровень энергии Ег является B1-г 1) -кратно вырожденным. При I = 0 мы имеем однократно вырожденный уровень, кото- рый называют просто невырожденным. Вообще состояние системы (или данный уровень) называют Л/-кратно вырожденным, если одному и тому же собст- венному значению энергии соответствует^N линейномезлвисимых б^й Вырождение энергетических уровней ротатора физически свя- зано с тем обстоятельством, что ротатор представляет собой си- 1 В этом случае момент инерции следует положить равным J ~*mxr\ + m2r\, где гп\ и т2 — массы атомов, а г\ и г2—их расстояния до центра инерции 164 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА стему, обладающую центральной симметрией, вследствие которой все направления, проходящие через начало координат, ока- зываются равноценными. Из этих же соображений следует, что это выр<зждение должно иметь место для любых центрально- симметричных систем. Если же существует какое-то выделенное направление, опре- деляемое, например, направлением магнитного поля, то цент- ральная симметрия нарушается и возможные направления для момента L становятся уже неравнозначными, благодаря чему вырождение либо снимается полностью, либо кратность его уменьшается. Состояние, соответствующее / = 0, называют s-состоянием, с /=! называют р-состоянием. Для d-состояния 1 = 2. Для /-состоя- ния 1 = 3. Для ^-состояния 1 = 4 и т. д. Рассмотрим более подробно s- и р-состояния ротатора. По- скольку в s-состоянии / = т = 0, согласно A1.67) собственная функция Уо» соответствующая нулевому собственному значению энергии Е0 = 0, будет равна: Y°o = -=. A2.3) У An Отсюда для плотности вероятности \Yo\2 найдем: \УоГ-^- A2.4) В р-состоянии /=1, а квантовое число т может принимать три значения —1, 0, +1. Следовательно, собственному значению энергии E{ = -j- соответствуют три собственные функции: УГ1=-i^—e-^ sin ^ 0B:5) A2.6) A2 Л Плотности вероятности определяются при этом формулами: ^ (I2.8) | У? |2 =^ cos2fh A2.9) Величина | YT |2sin ф?/#Лр представляет собой вероятность об- наружить частицу на сфере постоянного радиуса в области уг- лов ф a vp-f^V» ^ и ^+^^- Поскольку квадрат модуля \YT\ ие § 12. Ротатор 165 У №2 а б § Фиг. 12.1. Распределение плотности вероятности для ротатора. зависит от угла ф, вероятность обнаружить частицу в одном и том же интервале углов dq> становится одинаковой. В силу этого произведение |Ti2 соответствует плотности вероятности обнаружить частицу между углами Ф и г^-fdO. Графически распределение плотности вероятности A2.4), A2.8) и A2.9) представлены на фиг. 12.1, причем, учитывая не- зависимость модуля | ГГ|2от угла ф, изображение дано только в плоскости yz. Чтобы получить полную картину, график нужно вращать во- круг оси z. Как видно из A2.4) и фиг. 12.1, а, направление момента L относительно оси z для ротатора в s-состоянии не зависит от угла #. Это и понятно, так как момент L2 = b2l(l+\) в этом слу- чае равен нулю. Покоящаяся же материальная точка может с разной вероятностью находиться в любом месте сферической по- верхности радиуса а, т. е. все положения рогатора возможны и равноправны. Классического аналога s-состояние не имеет. Из A2.8) и фиг. 12.1, б следует, что наиболее вероятной из всех траекторий ротатора в р состоянии с /=1 и m=±I является та, ъоторая расположена з плоскости {xy)f причем состояния с //г=1 и с т = —1 отличаются одно от другого направлением 166 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА вращения: при га=1 ротатор обладает правым вращением (мо- мент количества движения L параллелен оси г), априт = — 1 — левым (момент L антипараллелеи оси г). При /=1 и т = 0 наиболее вероятной орбитой ротатора яв- ляется та орбита, которая лежит в плоскости, проходящей че- рез ось z [см. A2.9) и фиг. 12.1, в]. При этом момент направлен перпендикулярно оси г. Аналогичным способом легко исследовать состояния с 1 = 2 (пять значений т = 0, ±1, ±2), с / = 3 и т. д.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Квантовомеханическое рассмотрение» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
