Задачу о движении частицы в поле центральных сил /r=F(Of- (ИЛ) целесообразно решать в сферических координатах, поскольку в сферической системе координат уравнение Шредингера допу- 10 Зак 328 146 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Фиг. 11.1. Сферические коор- динаты. Элемент объема в сфе- рических координатах. екает разделение переменных. Запишем уравнение Шредингера в сферических координатах г, Ф и ф, связанных с декартовыми (фиг. 11.1) при помощи соотношений = pcoscp, y = psin<p, z=rcos#, p = rshift. (Jl-2) С этой целью прежде всего найдем выражение для потенциаль- ной энергии, которая может быть найдена из соотношения dV= -{F-dr). Отсюда в случае центральных сил A1.1) находим dV = {xdx + ydy ^ -Fdr, т. е. =- $F®dr, (П.З) A1.3a) A1.4) где нижний предел интегрирования мы выбрали из тех сообра- жений, чтобы на бесконечности величина V® обращалась в нуль. В частности, если центральные силы обусловлены кулонов* ским взаимодействием, т. е. если F- ^г §11. Общая теория движения частиц в центрально-симметричном поле 147 где Ze0 — заряд ядра (е = —е0 — заряд электрона, вращающе- гося вокруг ядра), то для потенциальной энергии имеем: К(г)—J-^-dr---^-. A1.5а) Г Далее выразим в сферических координатах лапласиан V2, для чего воспользуемся тождеством: V2\p = divgradip. A1.6) Найдем сначала компоненты вектора: В = grad я|> A1.7) в сферических координатах. Принимая во внимание, что гра- диент всегда характеризует изменение скалярного поля по неко- торому направлению Вь = grad/i|? = -—- в соответствии с фиг. 11.1 будем иметь: Воспользуемся далее общим определением дивергенции div Л=Й^г-=w где d3x — элемент объема в сферической системе координат d*x = r2sinMrdf>dq> A1.10) (#г- — координаты г, # и ф, a rfSt- — элементарные площадки, перпендикулярные соответственно направлениям dr, rd#, pdcp): rf5^ = r sin *dr dip, (П.П) Тогда с помощью A1.8) получим: Отсюда легко найдем выражение оператора Лапласа в сфе- рических координатах: 10* 148 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Полагая в A1.13) sin ft di имеем: V2 = V^+ ^У|ф. A1.16) Тогда уравнение Шредингера D.8) принимает вид (^ + ^УМ* + ^2(г)г|5==0' (И.17) причем величина k*® = ^[E-V®] A1.18) зависит только от радиуса г.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Шреднмгера в сферических координатах» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
