Дипольное, магнитное (дипольное) и квадрупольное излучение
Исследуем спонтанное излучение в более точном, чем в ди- польном, приближении. Полагая в формуле A0.34) N = 0, най- дем для вероятности перехода следующее выражение: A0.46) 2л пгьс п где S определяется формулой A0.32), а для матричного элемен- та РП'П мы имеем выражение A0.24). Определив вероятность спонтанного перехода, можно легко вычислить также и соответствующую интенсивность излучения Wnn> = h<*n.i'Ann'9 A0.47) а также и вероятности вынужденных переходов по формулам A0.41) и A0.44). При вычислении матричного элемента A0.24) следует учиты- вать, что величина (xr) ~-j- является малой. В самом деле дли- на волны излучаемого света А. ~ 10~ъ см, а размеры атома г ~ ~ 10"8 см. Поэтому -? « 1(Г3 < 1. В дальнейшем наряду с дипольным членов (Ыг) — 0) мы учтем еще члены, пропорциональные {кг), которые позволяют опре- делить так называемые квадрупольное и магнитное (дипольное) излучения. Тогда полагая е-ыг ^ j -/(иг), A0.48) найдем для матричного элемента A0.24) значение Я.'^^-'ИРи. (Ю.48) § !*) Теория переходных процессов 137 где рпп = ty*n>ptynd3x — матричный элемент оператора импульса. Воспользуемся далее следующим тождеством: •,,» wow=7(н/ (г) - f® "и - i (т w р) - т V2/L' A0.50) которое легко получить, если подставить сюда выражение для гамильтониана Заметим, что в A0.50) оператор V действует только на функцию f®. Полагая в формуле A0.50) функцию / равной х, найдем, что или в векторной форме Полагая далее f = x(xr)y получаем Заметим, что последний член правой части равенства в силу ортогональности собственных функций (nf ={= п) равен нулю Поэтому в векторной форме последнее соотношение можно запи- сать в виде Учитывая A0.53), второй член правой части равенства A0.49) можно представить в виде р = -i-(xr) р +у(иг) р = 1(хг) р - ^г(хр) - Отсюда для матричного элемента A0.49) в нашем приближении находим следующее выражение: Первый член в правой части равенства A0.54) описывает «обыч- ное дипольное излучение, второй — магнитное (дипольное) и, на- конец, третий — так называемое квадрупольное. 138 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Найдем прежде всего вероятность дипольных переходов. Подставляя первый член правой части равенства A0.54) в формулу A0.32), получим: Последнее равенство легко проинтегрировать по углам с по<- мощью соотношений: & йп = 4я, {н°А) (х°Д) йп = Ц- (АВ). A0.55) Тогда находим значение для вероятности дипольного перехода Л 2 3 ЛГ =-l^-\rn.nft A0.56) где К'п\2=\*п'п? + \Уп'п\2+Кп\2- (Ю-57) Если ввести матричный элемент дипольного момента dn'n = ern,nt A0.58) то выражение A0.56) можно представить в виде 10.59) Вычислим далее вероятность переходов, обусловленных магнит- ньш излучением. Подставляя второй член выражения A0.54) в формулу A0.32) и вводя оператор A0.60) который в классическом приближении играет роль магнитного момента (более подробно см. § 16), найдем: s -^[(^л«)-(хК«)(^4 Учитывая при интегрировании по углам равенство A0.55), для вероятности магнитных переходов получаем следующее выра- жение: 4со3 , дмагн __ яя | [2 Так же как и в классическом случае, магнитное излучение отли- чается от электрического заменой дипольного электрического мо- мента дипольным магнитным моментом. § 10. Теория переходных процессов 139 Как мы увидим в дальнейшем, вероятность магнитных пере- ходов (в особенности в атоме) во много раз меньше вероятности электрических переходов. Наконец, вычислим вероятность квадрупольных переходов. Подставляя третий член правой части равенства A0.54) в формулу A0.32), будем иметь: - ((««r) («9r));,n ((««г) (xV))n,B], A0.63) причем по индексу 5, входящему дважды, мы должны просумми^ ровать от 1 до 3 \х\ = х, х2 = у, хг = г). В данном случае при интегрировании по углам, кроме A0.55), следует учесть еще выражение: = ^[(AB)(CD) + + {AC)(BD) + (AD)(BC)]. A0.64) Тогда с помощью равенства A0.46) для вероятности квадру- польного перехода находим: A0.65) Вводя далее понятие квадрупольного момента (тензор) мы окончательно получаем: fe-(Q«')k(Q«'W A0.66) Излучение гармонического осциллятора. Рассмотрим на при- мере гармонического осциллятора вопросы, связанные со спон- танным излучением. Как было показано в § 8 [см. формулы (8.68), (8.69)], отлич- ными от нуля будут только следующие матричные элементы ко- ординаты _ rjrr <10-67> \. п — х0 у 2 9 где 140 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА т. е. дипольные переходы возможны лишь между соседними уров- нями и правила отбора для дипольного излучения имеют вид: Дя = n — nf = ± 1. A0.68) В частности, спонтанный переход возможен по схеме я-* -+п— 1 (фиг. 8.1). Соответствующая частота излучения <¦>„.„-, = *""/"-' =<в A0.69) равна механической частоте колебаний. Здесь мы учли, что со- гласно (8.28) Еп = Ъ(о(п + 1/2). Для интенсивности излучения найдем согласно A0.47) и A0.56) выражение 1У7дип 2 е2со2 2 ?2со2 , „ ч ,, А _АЧ ^•-^з^?^88!^^"^ A0'70) где Полагая й—> 0, мы получим для энергии излучения гармони- ческого осциллятора известное классическое выражение [см. (8.10)] ?5 Переходы в более высокие энергетические состояния п -> п + 1 возможны лишь при вынужденном поглощении. Спрашивается: возможно ли в случае гармонического осцил- лятора излучение гармоник? С этой целью мы подсчитаем интенсивность квадрупольною излучения, которая пропорциональна матричному элементу \,n, поскольку Qyy = Qzz = -е(х2\ Qxx = 2е (х2). A0.72) С помощью формул A0.47) и A0.66) находим следующее выражение для интенсивности квадрупольного излучения: y/квадр ^ (Y ' - 5 (х )п.п 2\2 /in -jo\ )п.п. A0.73) Матричный элемент произведения двух операторов может быть вычислен по формуле (8.89) (сумма произведений соответствую- щей строки на столбец): § 10 Теория переходных процессов 141 Принимая во внимание значения для матричных элементов хп,п [см. (8.68)], найдем следующие три отличных от нуля значения матричных элементов квадрупольного излучения: 2) /(l 2, п = 4f V(n + 2)(n+\), И 0.75) <*\„ = *§<« +'М- Таким образом, правила отбора для квадрупольного излучения осциллятора имеют вид: дд = п _ п' = о, ±2. A0.76) В частности, в случае спонтанного излучения, когда п->п — — 2, должен излучаться не основной тон (как для дипольных переходов), а первая гармоника \,-2" Еп~2Еп~2=2«>. A0.77) Учитывая формулы A0.77) и A0.75), найдем: Гквадр _ Joe " ш „ /„ _ 1 \ /1 a 7Q\ 15с ГПц Производя замену в классическом приближении Ьи>п—*Е, по- лучим: гквадР==_1^1_?^ (lQJ9) Сопоставляя формулы для дипольного и квадрупольного из- лучения, мы видим, что дипольные переходы происходят при Д/г = ± 1, а квадрупольные при An = 0, ± 2. Так как квантовое число п характеризует четность волновой функции [см. (8.42)], то дипольные переходы возможны из четного состояния в не- четное или наоборот. Квадрупольные же из четного состояния в четное или из нечетного состояния в нечетное. Определим далее отношение интенсивности излучения. Из формулы A0.79) и A0.71) находим: op где а2 = у — квадрат классической амплитуды колебаний. От- сюда видно, что в нерелятивистском приближении {Е<^т0с2) ве- роятность квадрупольных переходов будет во много раз мень- ше, чем для дипольных. 142 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Правила отбора для дипольных переходов равны Ал = ± 1, A0.81) а для квадрупольных 1 Дгс = 0, ± 2. A0.82) Заметим, что магнитные переходы для гармонического осцилля- тора будут отсутствовать, так как при прямолинейном движении механический момент, а вместе с тем и магнитный должны об- ращаться в нуль.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Дипольное, магнитное (дипольное) и квадрупольное излучение» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
