Вывод коэффициентов Эйнштейна по квантовой теории излучения
При определении энергии возмущения в формулу A0.4) мы подставим вместо вектора-потенциала [см. (9.15) и (9.25)] выражение ¦а+(х)е'*-'«г1, A0.19) 9* 132 Ч А гтЬ Т НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА при условии, что амплитуды as(x) подчинены перестановочным соотношениям (9.51), а частота со = сх. Тогда для коэффициентов Cn'(f) согласно A0.17) найдем - J d-хЪ*-'» (a+ (x) P)^?_^__rlj. (Ю.20) Если мы хотим исследовать излучение фотонов, то в послед- ней формуле следует оставить член, пропорциональный а+(и) (оператор испускания). Тогда имеем: m.L'^» сой (со^-со) J (iJ2^ Отсюда для суммарной вероятности перехода (спонтанный плюс вынужденный) и>пп> = Ляп- + р(о)Впп> = ^ С^@ Cn>{t) (Ю.22) получаем 4л sin / (со — со„„Л 1(«/>*)(я+Рп>Л (Ю.23) где матричный элемент Сделаем далее переход от ряда к интегралу при помощи соот- ношения * а также учтем, что при достаточно больших значениях времени мы можем положить 1 sin (со — со„„,И - * ""'_=б(о>_(Ппп,). A0.2б) 1 Для обоснования A0.25) следует воспользоваться равенством (9.11), из которого следует, что Дих = ?sx,y = /±kz = —j-. Отсюда при переходе к пределу L -> оо получаем A0.25). § 10. Теория переходных процессов 133 Примечание Равенство (Ш.26) означает, что I л sin (со-со , 1 7Г в Для доказательства последнего соотношения в левой части равенства A0 27) сделаем замену тогда оно принимает вид sin | IT Здесь мы перешли к пределу ? -> оо. Учитывая затем, что я J мы докажем соотношение A0.27), а вместе с тем и A0 26). Вообще говоря, сама функция, стоящая в левой части равенства A0.26), имеет острый мак- симум при со = ®Пп'' Однако для конечных моментов времени ? = Д/, прошед- ших от начала процесса, эта функция допускает «разброс» (т. е. будет прак- тически отлична от нуля) для интервала частот |Дсо! = |со — сопп,\, лежащих в области |Дсо|Д? ~ 1, что эквивалентно разбросу энергии |Д?|Д/~Й. A0 28) Последнее соотношение можно рассматривать как четвертое соотношение не- определенности. Оно хорошо известно в любом волновом процессе. В част- ности, в классической оптике оно характеризует уширение спектральных ли- ний связанных с конечным значением длительности излучения (см. также §3). Формула A0.26) для достаточно больших времен t —* оо при- водит к постулату частот Бора или к квантовой формулировке закона сохранения энергии <o = aw, (I0.29) где A0.30) Таким образом излучение возможно только при переходе с более высоких энергетических уровней на более низкие Еп > Е*- Используя далее перестановочные соотношения (9.51), легко показать, что («K'«)(<*+Pn'n) = S(l +N(<m°)), A0.31) где К К 134 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Перейдем далее к сферическим координатам волнового век- тора х(и = —, Ф, ф], когда &к= <*d*dQ t A0.33) где dQ = sin ftdtidy — элемент телесного угла. Предполагая, что внешнее излучение изотропно, т. е. число частиц не зависит от сферических углов О и ср (N = Л^(со)), най- дем после интегрирования по 6-функции следующее значение для вероятности перехода сверху вниз (с излучением света) *: ^' = lSfrO +JV («w) )<f dQS. A0.34) С другой стороны, перепишем равенство A0.22) Wrm'^Ann' + pBn*'. A0.35) Сопоставляя две последние формулы, мы видим, что вероят- ность спонтанного перехода (N = 0) определяется выражением (Ю.36) Для вероятности же вынужденного перехода имеем B A A0.37) Для того чтобы число частиц N выразить через плотность р, бу- дем исходить из следующих соображений. Плотность энергии электромагнитного поля равна оо w= J р(со)Ло. A0.38) о С числом же частиц JV(co) ее можно связать при помощи фор- мулы (изотропное излучение) 2сЪАк х С Из последних формул находим: сю оо ) % dnN^=!w ) ш d(*N(<»)' (Ю.39) 0 ДГ «2-3 T=V- 00-40) 1 Заметим, что после интегрирования по 6-функции в выражении для S следует положить са = (опп,к°. § 10. Теория переходных процессов 135 Отсюда, учитывая еще A0.37), имеем: Впп' = ^Апп,. A0.41) Определим далее вероятность перехода с нижнего состояния п' на верхний м, т. е. найдем вероятность перехода с поглощением света. Для этого в формуле A0.20) мы должны поменять местами уровни п (в данном случае конечный) и п! (в данном случае начальный), а также оставить члены, пропорциональные ампли- туде а(х) (оператор поглощения). Тогда имеем: ?<*г(#р)^у. A0.42) Сопоставляя формулы A0.42) и A0.21), мы видим, что их правые части представляют собой две комплексно-сопряженные величины. При вычислении квадрата модуля обе величины должны дать как будто один и тот же результат. Однако здесь, благодаря тому что амплитуды а и а+ являются операторами, возникает одно существенное различие, имеющее большое принципиальное значение. Как видно из формулы (9.51), a8af~{l+N)9 а+а8~МФа8а+. Поэтому при вычислении вероятности поглощения света wn'n мы получим результат A0.34), в котором вместо множителя A +N((i>nn')) будет стоять множитель N(®Пп')> т.е. Wn'n = Р Вп'п = ^сЧ N ^nn^ § dQSt (Ю.43) Отсутствие единицы говорит о том, что поглощение может быть только вынужденным (спонтанное поглощение, как и следовало ожидать, должно отсутствовать). Сравнивая формулу A0.43) с формулой A0.34), имеем: Вп'п^Впъ', A0.44) т. е. вероятности вынужденных переходов сверху вниз и снизу вверх оказываются равными и пропорциональными соотве!- ствующей вероятности спонтанного перехода [см. A0.41)]. 136 М\СТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКХ Подставляя соотношения A0.41) и A0.44) в формулу (9.6), дадим квантовомеханическое обоснование формуле Планка: /ко3 характеризующей распределение спектральной плотности равно- весного излучения. Напомним, что первоначально формула Планка была получе- на из принципа соответствия (см. § 2), путем обобщения соот- ветствующей классической теории на квантовый случай.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вывод коэффициентов Эйнштейна по квантовой теории излучения» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
