Как из- вестно, поле фотонов (поперечные электромагнитные волны) можно описывать вектор-потенциалом, удовлетворяющим урав- нению Даламбера: VM-l-^-=0. (9.9> Решение уравнения (9.9) будем искать в виде ряда Фурье: *, *)*'*', (9.10) наложив на волновую функцию (9.10) условие периодичности gtx(r + L) __ qI-лт причем Lx = Ly = Lz = L [см. также D.57)]. Тогда для составляющих волнового вектора х мы имеем 2я 2я 2п /лм, ^ = «1J, ^ = «2X' ^=rt3X' (9Л1> где пи п>2> = 0> =tl, ±2, ±3, ± Подставляя (9.11) в (9.9) и учитывая, что найдем, что амплитуды Л (и, t) подчиняются уравнению, кото- рому удовлетворяет также гармонический осциллятор А {к, t) + c2x2A(x, /) = 0, (9.12) с решением Л(х, /) = Л(х)г1СКЧЙ(х)^, (9.13> Для того чтобы вектор-потенциал А был веществен, следует положить /?(*) = Л'(-к). (9.14) 120 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Последнее соотношение легко доказать, если подставить (9.13) в (9.10) и в сумме, составленной из коэффициентов В(х), сделать замену к —> — к Учитывая еще равенство (9.14), разложение (9.10) приведем к виду: А = ~ ]? (Л (и) е- "*<+'*r + Л* (х) е^-*"). (9.15) Поскольку последнее выражение представляет собой сумму двух комплексно-сопряженных величин, оно является вещест- венным. Найдем далее полную энергию поля фотонов, которая, как известно, равна: Я =™ причем в случае наличия только поперечных электромагнитных волн O = div^ = 0f (9.17) имеем Е=-±~, H^rotA. (9.18) Примечание Вообще говоря, в переменном во времени электромагнитном поле наряду с вектор-потенциалом А' должен быть отличным от нуля также и скалярный потенциал Ф'. Однако в вакууме мы всегда можем произвести калибровоч- ные преобразования ф e OK + _L 4г» А = А'~ grad f, с at которые не изменяют связи векторов электрической ?=_±^i__grad(t) с dt ь и магнитной Н = rot А напряженности как со штрихованными, так и с не- штрихованными потенциалами Точно так же и условие Лоренца (div Л Н дФ/д*=*о) не изменится, если калибровочная функция / будет удовлетворять уравнению Даламбера с2 dt2 Поскольку для вакуума все составляющие потенциалов также должны удо- влетворять уравнению Даламбера, то, не нарушая общности, мы можем по- 1 д\ л, ложить — — = —Ф, что автоматически веде г к условию поперечности (9.17), а также к выражению (9.18). § 9. Квантовая теория излучения 121 Подставляя разложение (9.18) в (9.16) и принимая во вни- мание соотношение +*/)r = -I-J dxe L v»i + "iJx X L J L J = 6 ,-6 /-6 / = 6 „ (9.19) nV ~n\ n2' ~'b rt3' -<li и' ~х а также (9.15), найдем гамильтониан: А(ку t) дЛ (- x, V-2— (9.20) При дальнейших вычислениях учтем, что согласно (9.14) ра- венство (9.13) мы можем представить в виде Л(х, Ц = А(п)е-*с**+Am{-*)etc*t. (9.21) Кроме того, при вычислении гамильтониана необходимо учесть еще выражение для производной 1 дА (х, /) с dt = - Ы[А(к)е-(с**-А*{-к)е{сШ], (9.22) а также условие поперечности поля фотонов, которое следует из (9.17) (кА (х)) = (хЛ* (х)) = 0. (9.2 $) Подставляя последние соотношения в (9.20), легко показать, что гамильтониан не зависит от времени и равен: И = -Ь^ 2 *2К(и)Л» + Л»Л»]. (9.24) 2 л 5=1,2,3 В последнем члене правой части равенства (9.24) мы сделали замену х —> — х. Из условия поперечности (9.23) следует, что нельзя все три составляющие амплитуды вектор-потенциала считать за неза- висимые переменные. За независимые переменные можно вы- брать только две, что связано с двумя возможными поляриза- циями фотона. Хотя разложение амплитуд потенциалов по состояниям поляризации не является однозначным, однако ко- нечный результат не должен зависеть от этого, если произвести усреднение или суммирование по состояниям поляризации. Поэтому мы выразим три составляющие амплитуды потенциа- лов через две независимые таким образом, чтобы автоматиче- ски выполнялось условие поперечности и сохранялась бы квад- 122 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ратичная форма связи гамильтониана через независимые ам- плитуды. Для этого мы полагаем /2лсЬ ., / 2лсЪ I kzxx ки \ К 1 * К \КК12 1 Х12 / -1Га^У -^ГЛ^^ + ^Ч, (9.25) 4Н = /т-«з=- где I I (9.26) Зависимость амплитуд b\ и 62 от вектора и мы ради крат- кости писать не будем, т.е. bi = bx{x), a1 bt(t) = bWcxt. (9.27) Точно так же мы введем обозначение Нормировочный коэффициент т/^5?5. введен для того, чтобы правила перестановок [см. ниже (9.32)] были бы нормированы на единицу. Подставляя (9.25) в выражение для гамильтониана (9 24), мы найдем: 26^6^ + 6^+). (9.28) Если волновое уравнение рассматривать как результат пер- вого квантования (более строго это замечание относится лишь к уравнению Шредингера, а не Максвелла), то в результате первого квантования могут быть описаны волновые свойства процесса, когда постоянные амплитуды 6Ц являются обычными числами (с-числа), т. е. должны коммутировать друг с другом. Можно ввести дополнительную гипотезу, что квадрат ампли- туды описывает число частиц, однако это число не должно из- меняться со временем. 1 В дальнейшем амплитуды Ъ мы представим в виде матриц, и поэтому сопряженные амплитуды будут не комплексно-сопряженными, а эрмитово- сопряженными величинами, обозначаемыми через Ь+щ § 9. Квантовая теория излучения 12$ В процессах же излучения и поглощения фотонов должно изменяться общее число частиц. Поэтому для описания подоб- ного процесса необходимо создать теорию с возможным изме- нением амплитуд Ь, считая их, например, операторами (^-чис- ла). Математически это можно осуществить, проквантовав вы- ражение (9,27). Заметим, что квантование волнового уравнения получило название вторичного. В основу вторичного кван- тования мы положим квантовое уравнение движения [см. G 40)]t с помощью которого можно произвести также и первое квантова- ние. Учитывая зависимость амплитуды b(t) от времени [см. (9.27)], мы будем иметь ^j^-b^H). (9.29) Аналогично легко показать, что Подставляя сюда гамильтониан (9.28), соотношение (9.29) преобразуем к виду ~2~ ' ^ (^'^м-"~ Ь&Ь\1') + (b^bix — Ь^Ьр.') Ьух' + + Ь»> (b'Jb* - bvb'J) + (bl>b» - bM b'J]. (9.31) Мы удовлетворим последнему равенству, если положим [bXf] = bXf ~ b'Jb» = 6^5^, (9.32) [bM = Ь»Ь*> - b'v'b» = 0, (9.33) Из (9.30) следует еще [fcX'1 = 0. (9.34) Последние равенства и определяют вторичное квантование ам- плитуды электромагнитного поля. Примечание Заметим, что перестановочные соотношения (9 32) — (9 34), которые соот- ветствуют гамильтониану (9 28), описывают вторичное квантование частиц, подчиняющихся статистике Бо^е — Эйнштейна В случае, если бы гамильто- ниан имел другой вид Н e \ S сЫ (С +С' ~ С'С'+)' (9'35) как, например, для частиц, подчиняющихся уравнению Дирака (см § 22), то тогда квантовое уравнение движения (9 29) привело бы к так называемым ферми — дираковским перестановочным соотношениям С/ + С +СС/+ = 6их„ (9.3Ь) с'с + ccf = с/+е+ + с+с'+ = о. 124 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА В частности, из (9.32) следует, что некоммутирующими друг с другом будут только амплитуды, соответствующие одному и' тому же импульсу и поляризации1: ь*ь?-ь?ь*=\, (9.37) поэтому амплитуды Ь^ не могут быть обычными, с-числами. Они должны быть операторами, т. е. (/-числами (наподобие операто- ров р, и х в первично квантованном уравнении). Мы попробуем удовлетворить равенству (9.37), положив опе- раторы Ь и Ь+ равными следующим эрмитово-сопряженным бес- конечным матрицам2: VT о о о о 0 о о о о о о VT (9.38) Отсюда следует, что 0 VT 0 0 bb+ = b*b = 0 0 V2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... ... ... • « • • • • ... (9.39) (9.40) (9.41) 2nch бы в равенстве (9.25) мы не ввели нормировочного коэффициента , то в правой части равенства стоял бы квадрат этого коэффи- X циента. 2 Ради простоты индекс поляризации р. у амплитуд b мы опускаем. § 9. Квантовая теория излучения 125 ИЛИ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 ... 0 ... 0 ... 1 ... (9.42) Эти матричные значения для амплитуд Ь и Ь+ удовлетворяют равенству (9.37). Физически вторичное квантование электромагнитного поля приводит к описанию квантовой системы с переменным числом фотонов. Иными словами, мы сможем описывать испускание и поглощение фотонов, учитывая их корпускулярную структуру. Для того чтобы удовлетворить последним соотношениям, вы- берем функцию f (N) от числа фотонов N, на которую действуют матрицы Ь и 6+, в следующем виде1: /@) = 1 о о о о и КО- о 1 о о о U /B) = 0 о 1 о о и (9.43) где /@) описывает состояние, когда фотоны отсутствуют, /A) — состояние с одним фотоном, fB) —с двумя фотонами и т. д. Учитывая значение матриц (9.38) и (9.39), легко показать, что bf @) = 0, 6/A) = ДО), 6/B)=/2"/A), или bf(N)=V~Mf(N-l). Точно так же действие сопряженных амплитуд определяется соотношениями 1 Каждая амплитуда, зависящая от заданных значений |х и и, должна действовать на свою матрицу от числа частиц f(N). Общая функция от числа частиц должна быть равной произведению всех этих матриц: 126 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИЬИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ИЛИ b+f{N)=VN+ I f(N+l), (9.44) т. е. оператор Ъ является оператором поглощения (N —* N— 1)„ а оператор Ь+ — оператором испускания (N-+N+1) фотонов. Из последних равенств следует: b+bf(N) = Nf(N), bbi(N) = (N + l)f(N), (9.45) т. е. операторы b+b и bb+, действующие на функцию числа фо- тонов, имеют собственные значения, которые равны или числу фотонов N (для произведения b+b), или на единицу больше, чем число фотонов N + 1 (для произведения ЬЬ+). Как видно из формулы (9.45), в каждом квантовом состоя- нии может находиться любое целое число частиц. Поэтому пе- рестановочные соотношения (9.37) ведут к статистике Бозе— Эйнштейна.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Квантование свободного электромагнитного поля» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
