Нулевая энергия гармонического осциллятора и соотношение неопределенности
Выше мы нашли, что минимальная энергия гармонического осциллятора (8.28а) отлична от нуля, в то время как по классической теории или по теории Бора она равна нулю. Покажем, что появление в теории Шредингера нулевой энер- гии (8.28а) самым тесным образом связано, как мы упоминали, с соотношением неопределенности G.25), которое в нашем слу- чае можно представить в виде (х2)(р2)>±-. (8.45) При этом сделана замена ((АхJ) на {х 2) и {(ИрJ) на {р2).Это следует из условия, что волновые функции вещественны и явля- ются либо четными, либо нечетными. В самом деле, в силу не- четности выражения Отсюда = л;\|J имеем = J 106 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Точно так же, используя граничные условия на бесконечности, находим: i j ax zi —оо т. е. Подставляя значения для (р2) из (8.45) в выражение для полной энергии Е = (Н) = Щ + ^^-, (8.46) получаем: ' (8'47> Отсюда видно, что ни при каких значениях {х2) энергия Е не может обратиться в нуль. В самом деле, хотя при {х2) = 0 вто- рой член обращается в нуль, но зато первый обращается в бес- конечность. Точно так же, наоборот при (а:2) = оо первый член обращается в нуль, а второй — в бесконечность. Таким образом, отличное от нуля ?мин непосредственно свя- зано с соотношением неопределенности (8.45), т. е. с тем обстоя- тельством, что координата и импульс одновременно не могут быть точно вычислены. Найдем, при каких (х2) выражение (8.47) будет минималь- ным. Приравнивая производную от этой функции по {х2) нулю, имеем: ~~2 8m0 (a:2J = • ИЛИ 2 Подставляя это значение в (8.47), находим: *>¦?+-?-!?. (8-48) Отсюда ?Мин ^-о~ > что точно совпадает со значением для Ео> найденным по волновой теории [см. (8.28а)]. Существование конечной нулевой энергии гармонического ос- циллятора является одним из наиболее характерных проявлений волновых свойств частиц. В связи с этим экспериментальное под- тверждение нулевых колебаний имело большое значение для всей квантовой механики. Впервые нулевая энергия Ео была обнаружена эксперимен- тально в опытах по рассеянию рентгеновских лучей в кристаллах при низких температурах. Если бы никаких колебаний решетки при низких температурах не было (Ео = 0), как это, например, § 8. Линейный гармонический осциллятор {07 следует из теории Бора, то взаимодействие рентгеновских лучей с кристаллической решеткой, а следовательно и рассеяние, не имело бы места. Наоборот, если минимальная энергия будет от- личной от нуля (Ео ФО), то эффективное сечение рассеяния гфи низких температурах должно стремиться к некоторому конечному пределу. Эксперимент доказал последнее, т. е. подтвердил пра- вильность выводов волновой теории Шредингера.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Нулевая энергия гармонического осциллятора и соотношение неопределенности» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
