Определим прежде всего вероятность прохождения микрочастицы через потенциальный барьер прямоугольной формы (фиг. 6.1) в предположении, что энергия частицы Е меньше высоты потенциального барьера Vo. Допустим, что частица движется в положительном направлении оси х. Волны де Бройля, соответствующие движению частицы, частично отразятся от барьера, а частично пройдут сквозь него и будут распространяться в области х>а (фиг. 6.1). В этой задаче мы должны прежде всего найти волновые функции, а затем на границах потенциального барьера «сшить» их, т е. приравнять как сами волновые функции, так и их производные. 70 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Падающая волна Проходящая болна Фиг. 6.1. Прохождение частицы сквозь потен- циальный барьер. Решение уравнения Шредингера для каждой из 3-х областей имеет вид: г|O = Axeikx + Bxe"ikx при х<0 (область I), -*Х + В2е*х при 0<х<а (область II), F.1) ?-ik(x-a) ПрИ х>а (область III). 2т0Е Здесь Axeikx и B\e~ihx характеризуют соответственно падающую и отра- женную волны, Л3ег/фс-а) — прошедшую, а Вге-^х~а^ — отражен- ную, идущую из бесконечности. Поскольку последняя в на- шем случае отсутствует, необходимо положить ?3 = 0. Для ха- рактеристики величины туннельного эффекта введем коэффи- циент прозрачности барьера, под которым будем понимать мо- дуль отношения плотности потока частиц, прошедших через барьер, к плотности потока падающих частиц: J2- • F.2) ]пад v r Для определения потока частиц воспользуемся формулой E.23): . the I д'ф* * dty \ .„ ~. Подставляя в эту формулу решение уравнения Шредингера F.1) для коэффициента прозрачности D, находим: F.4) Для определения коэффициента прохождения воспользуемся граничными условиями при х = аих = 0и выразим сначала § б. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер 71 Фиг. 6.2. Схема потен- циального барьера про- извольной, но достаточно гладкой формы. Падающая и проходящая вол- ны изображены сплошной кривой; отраженная — штри- хованной. Падающая волна Отраженная / у \ болна А2 и В2 через Л3, учитывая, что Л2« В2 = а затем Л1 через Л3: 0, F.5) F.6) Тогда для коэффициента прохождения (диффузии) D получаем выражение: j.lga^^^, FJ) где Вводя величину Do = D 9* 16д2 получаем: 2а, —- F.8) где Do порядка единицы,.. Если мы хотим обобщить формулу F.8) на потенциальный барьер произвольной формы (фиг. 6.2), то соответствующую за- дачу лучше всего решать методом ВКБ. При этом согласно формуле E.53) мы должны произвести за- мену ^->-| f V2mQ{V{x)-E) dx% где координаты х\ (начало барьера) и х2 (конец барьера) нахо- дятся из условия 72 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Тогда для коэффициента прохождения D через барьер произ- вольной формы мы получаем выражение 1: 2 Р — J ^2mo(V(x)-E)dx. D~e Xl F.7) Движение частиц внутри потенциального барьера представ- ляет собой типичное проявление волновых свойств микрочастиц. Поэтому оно должно в той или иной степени проявляться в лю- бой волновой теории. В частности, в оптике этим аналогом мо- жет служить хорошо известное явление полного внутреннего отражения, которое может наблюдаться в случае отражения света при сравнительно больших углах от оптически менее плот- ной среды.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Случай прямоугольного барьера» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
