Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Квантова механіка і атомна фізика

Волновые пакеты. Фазовая к групповая скорости

Следуя
идеям де Бройля, движение свободной частицы вдоль оси х, об-
ладающей энергией Е = тс2 и импульсом р = mti, можно опи-
сать плоской волной
(х, t) =
-**> - Ае
C.9)
Скорость распространения и дебройлевской волны может
быть найдена как скорость перемещения постоянной фазы
Et — px = const
т. е. фазовая скорость определяется соотношением 1
dx Е с2
и
C.10)
Поскольку скорость v частицы согласно теории относительности
не может быть больше скорости света с в вакууме, для фазовой
скорости и волны получается значение, превышающее величи-
ну с. Этот результат говорит о том, что монохроматическая вол-
на не может переносить частицу или какую-либо энергию, по-
скольку скорость переноса последних согласно теории относи-
тельности ограничена скоростью света.
Поскольку квадрат модуля волновой функции C.9) равен
постоянной величине, плоская волна должна заполнять с одина-
1 Эта формула может быть получена из следующих простых соображе-
ний. Волновая функция зависит только от фазы ф = (Et — px)jh\ поэтому
если время t изменится на величину At и станет равным t{ = t-hAt, то фаза
эта перейдет в точку xi=^x + Ax, которая может быть найдена из равенства
C.12)
C.13)
т. е.
EU — рхх — Et — рх = const,
EAt — p\x=:Q.
Отсюда находим, что скорость распространения постоянной фазы, а вместе
с тем и волны в целом (фиг. 3.1) равна:
Ах
А*
Е_
Р
C.14)
Фиг. 3.1. Распростра-
нение монохроматиче-
ской дебройлевской
волны.
В течение времени Ы
волна в цетом переме-
щается на величину Ах
Фазовая скорость волны
Ах
равна «- — .
Положение волны
б момент бремени t
С2
Положение
волны б момент
бремени ttdt
ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ MFXAHHKA
ковой плотностью все пространство. Поэтому с помощью плос-
кой монохроматической волны лучше всего описывать движение
многих частиц.
Для волнового же описания движения отдельной частицы
необходимо взять не одну монохроматическую волну, а набор
волн, обладающих близкими частотами. С помощью набора волн
можно построить такой волновой пакет, результирующая ампли-
туда которого оказывается заметно отличной от нуля лишь в
некоторой небольшой области пространства, которую можно свя-
зать с местоположением частицы. Кроме того, оказывается, что
максимум результирующей амплитуды волнового пакета («центр
тяжести» группы волн) распространяется с групповой скоростью
меньшей, чем скорость света, причем для дебройлевских воля
групповая скорость совпадает со скоростью частицы.
Для того чтобы это показать, образуем волновой пакет из
суперпозиции (т. е. набора) плоских волн, для которых волно-
вое число k изменяется в пределах от kQ — до ko + -^-:
C.15)
Частота со является функцией k, причем мы пока что не будем
конкретизировать эту зависимость. Для простоты предположим,
что в этом интервале амплитуда a(k) остается постоянной и
равной ^(^)==тг- Разложим, далее, частоту ы(й) в ряд Тей-
лора в окрестности точки k = k0:
ф (k) = % + (k- k0) co^ + (k ~2°У < + -.., C.16)
где cdo = cd(?o); ®o==\'Jk) и т- Д-» а также, ограничиваясь
— &0,
C.17)
членами первого порядка малости относительно Ak =
найдем:
причем отброшенный член второго порядка малости равен
<o2(*) = ii=^^'. C.17а)
Учитывая лишь члены первого порядка малости, в результате
интегрирования C.15) по dk, получаем:
Ч>(*, О-Ве-'^-1'*1, C.18)
§ 3. Волновые свойства частиц 31
причем амплитуда волнового пакета В равна:
B^Asinl/Z, | = ^(x-a#). C.19)
Из этого выражения следует, что амплитуда В не остается по-
стоянной ни в пространстве, ни во времени.
Чтобы определить скорость движения волнового пакета в це-
лом, т. е. групповую скорость и, мы должны положить
g = -у- (х — со^г) = const. C.20)
Тогда, взяв производную по времени t и учитывая, что при этом
^- = 0, мы получим выражение для групповой скорости
Рассмотрим теперь пространственное распределение волново-
го пакета. Полагая при этом ? = 0, мы будем иметь ^ = —^*
Квадрат амплитуды волнового пакета
2_ «2 Sin2 g
достигает главного максимума в точке g = 0
В2@)=Л2.
Относительные максимумы (по модулю) в остальных точках
Зл
Т
±-2^ и т. д. будут соответственно уменьшаться:
причем в точках ± я, ± 2я и т. д. квадрат амплитуды обращает-
ся в нуль.
Благодаря этому мы можем считать, что область локализа-
ции основной части волнового пакета Дя находится в окрестности
главного максимума. Конкретно примем, что эта область соот-
ветствует половине расстояния g между первыми нулями функ-
ции В = Л sin |/| Uo= ± я). Тогда получаем, что
и, следовательно, ДйАд: = 2я. Поскольку волновая функция фак-
тически отлична от нуля и за пределами этой основной части па-
кета, то более правильно область локализации волнового пакета
32 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Ах и интервал волновых чисел Ak связать друг с другом нера-
венством
> 2я. C.22)
Из этого соотношения следует, что чем шире область простран-
ственной локализации любого волнового процесса Ах, тем уже
должен быть интервал Ak волновых чисел, описывающих дан-
ную локализацию. В частности, из C.22) следует и то, что моно-
хроматическая плоская волна (Ak = 0) не может описать лока-
лизованного в пространстве волнового процесса, ибо для моно-
хроматической волны (Ak = 0) область локализации распрост-
раняется на все пространство (Дх->оо).
Рассмотрим еще временную локализацию волнового пакета
C.19). Полагая в выражении для переменной g аргумент х = 0,
. А& ды , Ао) ,
т. е. считая, что g= T~~~dk 2~ ' и ПРОВОДЯ рассуждения,
аналогичные предыдущим, мы придем к неравенству
ДсоДг > 2я. C.23)
Из формулы C.23) следует, что короткому по времени At сиг-
налу соответствует широкий интервал спектра частот Дсо, и, на-
оборот, вполне определенная частота (До = 0) соответствует
волновому процессу, безгранично протяженному во времени
(At-* oo).
Полученные нами соотношения взаимной связи интервалов Ak
и Ах [см. C.22)], а также Дсо и Д^ [см. C.23)] справедливы для
любых волновых процессов независимо от того, какова их при-
рода. В частности, несовместимость острой локализации волно-
вого процесса во времени с узким спектром частот — явление,
хорошо известное и в оптике (ширина полосы) и в радиотеле-
графии (радиоприемник с остроселективной настройкой Доз~>0
не в состоянии принять радиосигналы, короткие во времени)
и т. д.
Рассмотрим, наконец, влияние отброшенных нами членов
разложения со (k) в ряде Тейлора C.16) на волновой процесс. Мы
отбросили при нашем разложении со члены второго порядка, рав-
ные 0J [см. C.17а)]. Очевидно, что такое приближение физически
не всегда оправдано. Действительно, в условиях отсутствия дис-
персии (со2 = 0), когда все монохроматические волны, образую-
щие волновой пакет, распространяются с одинаковой фазовой
скоростью [см. C.18)], начальная форма волнового пакета с те-
чением времени не изменяется, а максимум его амплитуды пере-
мещается с групповой скоростью равной фазовой.
Еоли же дисперсия отлична от нуля (сог^О), т. е. в случае,
когда фазовая скорость отдельных монохроматических волн, со-
ставляющих волновой пакет, будет различной, то для достаточна
больших времен начальная конфигурация пакета с течением вре-
мени начнет изменяться, или, как говорят, пакет расплывается.
Нетрудно оценить время расплывания волнового пакета. Для
эгого нам необходимо учесть при вычислении интеграла C.15)
квадратичный член разложения Тейлора (З.!7а), отброшенный
нами в первом приближении. Учет этого члена приводит к допол-
нительной фазе
которая оказывается существенной, если достигает порядка п 1.
Отсюда для времени t = At начала расплывания волнового па-
кета получаем значение
Таковы некоторые общие свойства волновых процессов, описы-
ваемых группой волн
Применим теперь полученные нами выводы к дебройлевским
волнам (фиг. 3.2). Прежде всего обратим внимание на то, что
амплитуда пакета практически отлична от нуля в небольшой
области пространства, которую можно связать с местоположе-
нием частицы. Далее, в частном случае дебройлевских волн
(? = й(о и р = Ък) нетрудно убедиться в том, что групповая
1 Как известно, *з фушгши синуса мы можем отбросить фазу только &
том случае, если она много меньше я.
3 Зак. 32$
Фчг. 3 2. Форма вол-
нового пакета при
г = 0 для дебройлев-
ских волн (a& = -J-J.
§ 3. Волновые свойства частиц 33
34 ЧАСТЬ I НГРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВ\Я MFXAHHKA
скорость перемещения пакета как целого [см. C.21)]
д($ дЕ с'*р /о ос\
" = Ж==^= ? -° C'26)
точно равна скорости v движения самой частицы1. Таким обра-
зом, полученные результаты открывают возможность сопоста-
вить движение главного максимума волнового пакета (центра
тяжести) с движением отдельных частиц. Поэтому, в частности,
положение частицы в пространстве можно характеризовать квад-
ратом амплитуды ф-волны, т. е. величиной В2 = -ф*^, причем по-
ложение частицы в пространстве и ее импульс мы можем пред-
сказать лишь с некоторыми отклонениями Да: и Ар. Заметим, что
эти величины не могут быть выбраны малыми независимо друг
от друга. Действительно, согласно формуле C.22) для произве-
дения величин Ах и Ар мы получаем соотношение
AxAp>hy C.27;
получившее название соотношения неопределенности Гейзен-
берга 2. Мы еще вернемся к более строгому обоснованию этого
весьма важного соотношения. Пока лишь укажем, что соотноше-
ние неопределенностей в квантовой теории является проявлением
корпускулярно-волнового дуализма. Согласно соотношению не-
определенностей всегда имеют место неточности или ошибки в
теоретическом предсказании координаты и импульса, причем вся-
кая локализация частицы связана с неизбежным размазыванием
ее импульса. Очевидно, что это обстоятельство делает невозмож-
ным предвычислить классическую траекторию движения микро-
частиц, т. е. квантовая теория вскрывает принципиально новые
свойства микрообъектов, не укладывающихся в рамки обычных
классических представлений движения материальных точек.
Далее необходимо выяснить, можно ли отождествить "ф-волны
со структурой частиц, или эти волны характеризуют только их
возможное движение.
Первая интерпретация связи между корпускулой и волной
была предложена Шредингером. Согласно его гипотезе, частица
должна представлять собой образование из волн, причем плот-
ность распределения такого сгустка волн в пространстве равна
1 При дифференцировании по импульсу следует учесть, что энергия для
свободной частицы равна E=cYpz-hmcc Те же самые выражения для
групповой скорости мы получим и в нерелятивистском приближении, если по-
ложим Е » mQc2 + тг— и р » mov.
2 Заметим, что при движении в пространстве таких соотношений будет
три. Аналогично из C 23) для дебройлевских волн можно получить и так
называемое четвертое соотношение неопределенности Д?Д? ^ h.
§ 3. Волновые свойства частиц Эб
Гаким образом, по Шредингеру, волновая функция \|) связана
непосредственно со структурой микрочастицы. Однако такая ин-
терпретация волновой функции оказалась несостоятельной.
Действительно, хотя теоретически всегда возможно с по-
мощью суперпозиции волн образовать волновой пакет с протя-
женностью в пространстве порядка радиуса частицы (например,
электрона), однако, как мы показали, фазовая скорость каждой
монохроматической волны, образующей волновой пакет, различ-
на. Благодаря этому волновой пакет с течением времени начнет
расплываться.
Найдем время расползания волнового пакета, составленного
из дебройлевских волн. Квадратичный член ряда Тейлора C.17а),
определяющий дисперсию, будет в этом случае равен
В случае макроскопической частицы, масса которой равна, на-
пример, 1 г и размер Ах ==0,1 см, время расплывания чрезвычай-
но велико Д/~ 1025 сек, т. е. такой волновой пакет фактически не
будет расплываться.
В случае же микрочастицы, например, электрона то^1О~27 г,
Д;е~10~13 см, волновой пакет расплывается практически мгно-
венно М~ 10~26 сек.
Таким образом, если стоять на точке зрения гипотезы Шре-
дингера об электроне как сгустке волн, «размазанном» в про-
странстве, то оказывается, что электрон не может представлять
собой устойчивое образование.
Кроме того, невозможно объяснить в согласии с эксперимен-
тальными данными явление дифракции, если пучок электронов
заменить множеством волновых пакетов. Поэтому предложенная
Шредингером интерпретация волновой функции, связывающая
ее со структурой частицы, была отвергнута.
В настоящее время принята другая, а именно статистическая
интерпретация волновой функции, предложенная Максом Борном.
3*
36 ЧАСТЬ ! НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Согласно этой интерпретации квадрат модуля волновой функ-
ции, т. е. величина i^l^if»*^ характеризует плотность ве-
роятности нахождения электрона в различных точках про-
странства. Квадрат модуля волновой функции г|)*(х,/)ty(x, t)
равен плотности вероятности обнаружить частицу в момент
времени t в точках с координатами, лежащими в промежутке
х и х + Ах.
Статистическая интерпретация, предложенная Борном, не
связывает волновую функцию со структурой самой частицы, и,
в частности, электрон может оставаться вообще точечным.
При изменении волновой функции г|? со временем изменяется
только вероятность нахождения электрона в различных точках
пространства. В свете этого расплывание волнового пакета не
противоречит устойчивости самой частицы. В предельном случае
монохроматической волны (Ар = 0) частица равновероятно мо-
жет быть обнаружена в любой точке пространства.
При наличии многих электронов статистическая интерпрета-
ция квантовой механики не встречает каких-либо принципиаль-
ных трудностей. В этом случае величину f = \f>*if> следует рас-
сматривать как функцию распределения (в отличие от классиче-
ской статистики она не зависит от температуры). Дифракционную
картину пучка электронов можно интерпретировать следующим
образом: светлые пятна соответствуют максимуму f=|t|?j2, a
вместе с тем и наибольшему числу электронов, которые пойдут
по соответствующему направлению. Вероятность же движения
электронов по направлению темных пятен, наоборот, будет наи-
меньшей.
Серьезные трудности в статистической интерпретации волно-
вой функции, данной Борном, возникли при описании движения
одного электрона.
Развивая опыты С. И. Вавилова с квантовыми флуктуациями
фотонов (§ 2), советские физики Л. Биберман, Н. Сушкин, В. Фаб-
рикант 1 показали, что по мере уменьшения интенсивности пучка
электронов дифракционная картина начинает становиться все ме-
нее отчетливой, и, наконец, когда пучок будет состоять из от-
дельно летящих электронов, на экране возникает не дифракци-
онная картина, а изображение отдельных точек.
Однако если вслед за одним электроном в течение достаточно
длительного времени пропускать и другие, то одиночные точки
на экране будут постепенно сливаться, образуя в совокупности
дифракционную картину, совпадающую с дифракционной кар-
1 См.: Л. Биберман, Н. Сушкин, В. Ф а^б р и к а н т. ДАН СССР» 66,
185 A949). Аналогичные опыты по дифракции отдельных фотонов были вы-
полнены венгерским физиком Л. Я ноши. «Вопросы философии», № 4, 98
A958).
§ 3. Волновые свойства частиц 37
тиной, возникающей от одновременного пропускания многих
электронов К
Эти опыты еще раз демонстрируют несостоятельность ги-
потезы «размазанного» электрона, поскольку в них отдельный
электрон сохраняет свои корпускулярные свойства, а волнввая
теория может предсказать лишь вероятность его пребывания в
том или ином месте пространства.
Отметим также, что волновая теория не может объяснить, по-
чему электрон попадает именно в точку М дифракционного коль-
ца, а не в точку N, если вероятности попадания в обе эти точки,
вычисленные по волновой теории, оказываются одинаковыми.
Вокруг этого вывода разгорелись большие методологические ди-
скуссии.
Одна из попыток объяснить некоторую «свободу» поведения
электрона основана на введении так называемого принципа до-
полнительности (Гейзенберг, Бор и др.).
Согласно принципу дополнительности соотношение неопреде-
ленности возникнет благодаря тому, что воздействие наблюдате-
ля па микрообъект нельзя свести к нулю. Это можно проиллю-
стрировать с помощью следующего мысленного (т. е. пока что
технически неосуществимого) эксперимента. Допустим, что мы
хотим определить положение электрона с помощью ультрамикро-
скопа, т. е. такого прибора, который позволяет фиксировать по-
ложение электрона, используя для этого пучок света с соответ-
ствующей длиной волны.
Если электрон будет двигаться на таком расстоянии от объек-*
тива микроскопа, что угол между падающим и рассеянным пуч-
ком света с длиной волны К окажется равным ср, то согласно за-
конам оптики его координату в направлении, лежащем в плоско-
сти, параллельной плоскости объектива, можно измерить с
точностью до величины
Д*~Ж?' C-31)
Однако в силу того что свет обладает импульсом р = у-, часть
последнего будет передаваться электрону (эффект Комптона),
и поэтому импульс электрона в том же направлении можно так-
же определить лишь с некоторой точностью
Лрх~-^ sin<p, C.32)
1 Это напоминает до некоторой степени стрельбу по мишени^ когда по-
падание одной пули дает как будто бы случайную отметку. 0днак® при
большом числе выстрелов можно выявить некоторый закон попадания^(таус-
с®8|) распределение), квт©рый в применении к отдельному выстрелу дает
лишь вероятность попадания в ту или другую точку (см. § 5).
38 Ч А С Т Ь I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
которая в произведении с Ах и дает соотношение неопределенно-
сти C.27).
Из равенства C.31) видно, что для более точного определения
координаты электрон следует освещать светом с возможно мень-
шей длиной волны А,. Тогда, как видно из C.32), чем меньше Я,
тем больший импульс будет получать электрон. Таким образом
мы не можем сделать одновременно ошибки в изменении ко-
ординаты и импульса сколь угодно малыми (принцип дополни-
тельности). Отсюда делается вывод о том, что наши познания
микромира должны быть вообще якобы принципиально ограни-
чены некоторым, пусть малым, но конечным пределом, поскольку
микроструктура измерительной установки (в данном примере
кванты света) вносит элементы неконтролируемого воздействия
на объект (т. е. на электрон), определяемые соотношением
неопределенности.
Основная методологическая ошибка, которую совершают сто-
ронники принципа дополнительности, связана с тем обстоятель-
ством, что они абсолютизируют выводы квантовой механики и
постулируют вообще запрет объективного объяснения статисти-
ческих закономерностей микромира по любым теориям.
Хотя в опытах с дифракцией отдельно летящих электронов,
анализируя попадание электрона в определенную точку мишени,
можно определить (правда, для прошедшего момента времени)
его координату и импульс с большей точностью, чем точность,
предсказываемая соотношением неопределенности !, тем не менее
мы утверждаем, что все попытки подвести под квантовую меха-
нику фундамент какой-либо теории с однозначной предсказуе-
мостью (на подобие классической механики) заранее обречены
на неудачу 2.
Однако все же можно надеяться, что в будущей теории ста-
тистический характер (т. е. предсказуемость с некоторой вероят-
ностью) явлений микромира должен явиться следствием прояв-
ления каких-то объективных закономерностей микромира. Кван-
товая механика в какой-то степени независимо от приборов и
способов наблюдения и вскрывает эти закономерности.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Волновые пакеты. Фазовая к групповая скорости» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»