Стрекот аэропланов! Беги автомобилей! Ветропросвист экспрессов! Крылолет буеров! Игорь Северянин, Увертюра. Как-то автору этих строк довелось возвращаться на железнодорожном экспрессе из Венеции в Неаполь. Поезд шел очень быстро (со скоростью около 150 км/ч), за окном мелькали пейзажи, будто сошедшие с полотен мастеров Возрождения. В полном согласии с их картинами местность была холмистая, и поезд то летел по мосту, то нырял в очередной туннель. В одном из особенно длинных туннелей вблизи Флоренции у нас неожиданно «заложило» уши, так, как это бывает при взлете или посадке у пассажиров самолета. Судя по внешним признакам, та же участь постигла и наших попутчиков — все в вагоне крутили головами, пытаясь избавиться от неприятного ощущения. Когда же поезд наконец вырвался из тесного туннеля, оно прошло само собой, и лишь у одного из нас, не привыкшего к таким сюрпризам на железной дороге, остался вопрос о происхождении этого эффекта. По- скольку он явно был связан с перепадом давления, мы стали оживленно обсуждать возможные физические причины явления. На первый взгляд, казалось очевидным, что при наличии поезда да- вление воздуха между стенками туннеля и обшивкой поезда должно повы- ситься, однако по мере того, как мы углублялись в задачу, это соображение казалось все менее и менее бесспорным. Вскоре у нас было готово объ- яснение, которое мы и хотим вам предложить. 168 Глава 20. Случай в поезде Рассмотрим поезд с площадью поперечного сечения Sn, движущийся с постоянной скоростью внутри длинного туннеля с площадью поперечного сечения So. Сразу же перейдем в систему отсчета, связанную с поездом. Течение воздуха будем считать установившимся, а вязкостью воздуха пре- небрежем. В этом случае движение стенок туннеля относительно поезда можно не учитывать — ввиду отсутствия вязкости оно не оказывает вли- яния на течение воздуха. Будем также считать поезд достаточно длинным, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами у переднего и заднего вагонов, а давление воздуха в туннеле будем считать установившимся и постоянным вблизи обшивки всего поезда. Так мы, путем отказа от второстепенных деталей, перешли от реально- го движения поезда к упрощенной физической модели, которую уже можно попробовать описать математически (см. рис. 20.1). Итак. Имеется труба (бывший туннель), в которой соосно с ней покоится цилиндр (бывший по- езд) с обтекаемыми концами1. Сквозь трубу продувается воздух: вдали от поезда (сечение А— А на рисунке) давление воздуха ро равно атмосферно- му, а скорость воздушного потока vn равна по величине и противоположна по направлению скорости, с которой до перехода в нашу систему отсчета двигался поезд. Рассмотрим некоторое сечение В—В (на всякий случай подальше от концов поезда, чтобы наши предположения действительно выполнялись). Обозначим давление воздуха в этом сечении через р, а скорость потока воздуха через v. Эти величины можно связать с vn и ро с помощью уравнения Бернулли2: Р + ^-Ро-г^, B0.1) где р — плотность воздуха. В уравнении B0.1) две неизвестные величины — рич, поэтому для определения р необходимо еще одно соотношение. Его нам даст условие неизменности массы воздуха, протекающей через любое сечение в единицу времени (при течении в трубе масса не может ни возникать, ни исчезать): pvnS0 = pv(S0-S,,). B0.2) (Об этом соотношении часто говорят как об условии непрерывности по- тока.) 'Фактически вместо железнодорожного туннеля мы будем говорить об аэродинамической трубе наподобие тех, где испытывают самолеты. 2Даниил Бернулли A700—1782) — швейцарский физик и математик, родился в Нидер- ландах (сын швейцарского математика Иоганна Бернулли); сформулировал основы теорети- ческой гидродинамики. 169 В Rv А А Рис. 20.1: В туннеле воздух обтекает скоростной поезд, как в аэродинамической трубе. Вы уже заметили, что мы записываем уравнение Бернулли в виде так называемого приближения несжимаемой жидкости. Это накладывает дополнительные ограничения, которые стоит обсудить подробнее. Мож- но ли считать плотность воздуха в уравнениях B0.1) и B0.2) постоян- ной? Вопрос непростой, и строгий ответ на него может быть дан только с помощью гораздо более сложного рассмотрения на основании общего уравнения Бернулли (называемого интегралом Бернулли), справедливого и для сжимаемой жидкости. Мы же приведем лишь наводящие физические соображения. Чтобы можно было пренебречь сжимаемостью, должны выполняться два условия. Во-первых, интересующий нас скачок давления Ар дол- жен быть мал: Ар <С р. Если скорость потока не слишком велика (что это означает, станет ясно позже) и мы пренебрегли вязкостью воздуха, то изменением температуры воздуха можно пренебречь. Тогда, согласно уравнению B0.4), плотность воздуха пропорциональна давлению р ос р. Если давление меняется незначительно, то изменение плотности тоже ма- ло: Ар = р^- -С р. Впоследствии мы убедимся, что это действительно так. Второе условие относится к скорости потока в разных частях туннеля. Нетрудно увидеть предел, где наше предположение о постоянстве плотно- сти р заведомо не выполняется: если скорость потока воздуха в каком-либо 170 Глава 20. Случай в поезде из сечений трубы становится сравнимой со среднеквадратичной скоростью теплового движения молекул, то тут уже ни о каком постоянстве р в раз- личных сечениях говорить не приходится. Действительно, ведь именно эта скорость определяет характерное время установления средней плотности газа в макроскопическом объеме, поэтому при столь высоких скоростях потока она, плотность, просто не будет успевать устанавливаться при пе- реходе от одного сечения к другому. Однако, как мы увидим ниже, это ограничение может оказаться недостаточным. А пока будем считать плот- ность р постоянной. Избавляясь с помощью B0.2) от скорости v в B0.1), находим давление воздуха в туннеле: ФЬА) Bаз) Плотность воздуха р может быть найдена из уравнения Менделеева — Клапейрона, примененного вдали от поезда (мы уже делали это в главе 12, см. уравнение A2)): т_ Ром ,„0 4^ где fi = 29 — молекулярная масса воздуха, Т — его абсолютная темпера- тура и R — универсальная газовая постоянная. Подставляя это соотно- шение в B0.3), получаем Входящая в это выражение комбинация параметров fj,v^/RT, очевидно, безразмерна. Следовательно, величина \/RT/p. имеет размерность скоро- сти. В ней, с точностью до коэффициента, можно сразу же усмотреть среднеквадратичную скорость теплового движения молекул. Однако при анализе рассматриваемой аэродинамической задачи для нас будет важ- на другая характеристика газа — скорость распространения в нем звука, которую авторам уже давно хочется ввести. Она, как и скорость теплово- го движения молекул, определяется температурой и молекулярной массой газа, и численное значение скорости звука v3a зависит еще от так назы- ваемого показателя адиабаты -у — характерного для каждого газа числа порядка 1 (для воздуха 7= 1.41): Оэ„ = а/7—- B0.6) 171 При нормальных условиях иза = 335 м/с (т. е. примерно 1200 км/ч). Используя определение B0.6), мы можем переписать выражение B0.5) для давления р в удобном для дальнейшего обсуждения виде1 (подставив Д4 Теперь пришло время остановиться и подумать. Мы вычислили давле- ние вблизи обшивки поезда внутри туннеля. Однако наши уши заболели не от самого давления, а от его изменения при входе поезда в туннель по сравнению с давлением р' вблизи обшивки поезда при его движении по свободному пространству.2 Перепад давления мы можем сразу же опреде- лить с помощью выражения B0.7), заметив, что открытое пространство — это то же, что туннель бесконечного радиуса, So —> оо. Поэтому Р' = Ро, что, впрочем, было очевидно и без вычислений. Вычисления показывают, что относительное изменение давления от- рицательно: Ар р- ро Ро Ро Таким образом, как видно из B0.8), при входе в туннель давление вбли- зи обшивки движущегося поезда понижается (а не повышается, как нам показалось вначале). Давайте оценим величину найденного эффекта. Для узкого (двухколей- ного) железнодорожного туннеля можно принять, что Sn = \So- Величины vn = 150 км/ч и v3a = 1200 км/ч уже приводились выше. Таким образом, находим, что Др 1,41/1 ро 2 V8 2 I'"' -1%. 'Вездесущее в аэродинамике отношение скоростей М = v/vs называют числом Маха, в честь австрийского физика Эрнста Маха, A838—1916). 2Тут стоит отметить два обстоятельства. Во-первых, в биофизике существует так называ- емый закон Вебера — Фехнера, согласно которому любое изменение внешнего воздействия воспринимается органами чувств только тогда, когда относительное изменение этого воз- действия превышает некоторую пороговую величину. Во-вторых, если туннель оказывается достаточно длинным, то организм успевает адаптироваться к новым условиям и неприятное ощущение исчезает. Однако на выходе из туннеля оно вас подстерегает вновь. 172 Глава 20. Случай в поезде Как мы и ожидали, изменение давления оказалось малым, и следо- вательно, сделанное выше предположение подтвердилось — изменением плотности воздуха действительно можно было пренебречь. Однако такая малость относительной величины изменения давления не означает, что че- ловеческий организм не в состоянии ее почувствовать. Действительно, если мы вспомним, что ро = Ю5 Н/м2 и примем площадь нашей барабанной перепонки за <т = 1 см2, то избыточная сила давления, действующая на нее изнутри, составит AF = а ¦ Ар ~ 0,1 Н, что уже вполне заметно. Казалось бы, эффект объяснен и можно ставить точку. Однако что- то беспокоило нас в полученной формуле. И мы быстро обнаружили, что именно: из выражения B0.8) следует, что даже при нормальном для обычных поездов соотношении vn/v3a <S 1 (эта комбинация скоростей постоянно встречается в аэродинамике и носит название числа Маха) в очень узком туннеле, когда Sn —> So, величина |Ар| может стать порядка ро и даже превысить эту величину! Ясно, что в этом случае мы выходим за рамки ограничений, сделанных выше. Но где именно? Ведь, казалось бы, соотношение vn <s v3a весьма надежно защищает нас от неожиданностей. Попробуем разобраться. Пусть Ар, вычисленное по формуле B0.8), действительно, оказывается порядка ро. Это означает, что и следовательно, vn So ~ v3a (So - Sn). Сравнивая последнее равенство с условием непрерывности B0.2), мы видим, что произошло: |Ар| становится порядка ро, когда скорость проте- кания потока воздуха между обшивкой поезда и стенками туннеля оказы- вается порядка скорости звука, а в этом случае, как мы уже говорили, все наше рассмотрение оказывается неприменимым. Следовательно, условием применимости выражения B0.8) является не только условие vn <s v3a, но и более жесткое: o — Sn Для реальных поездов и туннелей оно, очевидно, выполняется всегда. Тем не менее наше исследование пределов применимости полученной фор- мулы не следует рассматривать как простое математическое упражнение. Во-первых, физик должен всегда четко представлять «рабочую область» полученного им результата. Вторая причина, в данном случае, вполне прак- тическая. Дело в том, что в последние десятилетия все чаще обсуждаются 173 возможности создания принципиально новых видов транспорта, в том чи- сле и на основе железнодорожного. Так, уже много лет назад была предло- жена идея поезда, движущегося на сверхпроводящей магнитной подушке. Это вагончик, внутри которого имеется мощный сверхпроводящий маг- нит. Благодаря создаваемому им магнитному полю, вагончик зависает над металлическим рельсом, и сопротивление движению определяется толь- ко аэродинамическими свойствами такого вагона. В Японии уже создана действующая модель этого вида транспорта. Экспериментальный образец перевозит 20 пассажиров вдоль линии длиной в 7 километров, развивая при этом максимальную скорость 516 км/ч! А ведь это уже почти половина скорости звука. Следующим шагом на пути развития этого вида транспорта стала идея... заключить вагончик в герметическую трубу и создать там пони- женное давление! Вот тут-то, как вы уже, наверное, сообразили, конструк- торы и сталкиваются с рассмотренной нами задачей о поезде в туннеле, но в гораздо более сложном случае, когда vn ~ и3й и So — Sn <C Sq. Дви- жение разреженного воздуха здесь уже турбулентно, температура воздуха заметно меняется, и сегодня наука еще не знает ответов на многие вопро- сы, возникающие при решении подобных задач. Сделанная нами оценка позволяет вам понять некоторые из тех трудностей, которые встречаются на пути ученых. В заключение предлагаем подумать над другими физическими вопро- сами, которые могут возникнуть при поездке в поезде.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Случай в поезде» з дисципліни «Дивовижна фізика»
