К концу XVIII в. экспериментальная основа естествознания все более расширялась. Эксперименты проводились во всех естественно-научных направлениях. При проведении экспериментов с большим числом измерений особое значение имеют методы обработки результатов этих измерений. Такие методы обработки необходимы, в частности, при проведении геодезических работ — при измерении расстояний, углов, превышений. Результат измерений непременно содержит ошибку, являющуюся следствием весьма многих факторов, среди которых несовершенство измерительной аппаратуры, имеющей ограничения по точности, ошибки наблюдения, ошибки, лежащие в основе применяемого метода измерений и другие. Ошибки измерений исследуются методами теории вероятностей. Первая попытка подвергнуть вероятностному анализу погрешности физических измерений принадлежит Галилею. Задачи вероятностного характера решали Ферма, Паскаль, Гюйгенс, Декарт. Теория вероятностей развивалась в связи с азартными играми, решением задач, связанных со страхованием, демографией, теорией стрельбы. Однако качественно новое значение теория погрешностей (ошибок) измерений получила на основе решения главным образом астрономических и геодезических задач. Наиболее эффективный метод обработки результатов измерений — способ наименьших квадратов был разработан немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 — 1855). Этот метод лег в основу теории математической обработки результатов измерений, полученных при проведении различных физических экспериментов. Карл Гаусс родился в бедной семье в маленьком доме в Брауншвейге. Отец Гаусса был фонтанным мастером, но занимался и другими ремеслами. С самого раннего детства Карл поражал своих домашних феноменальными способностями к счету. Гаусс впоследствии в кругу друзей часто говаривал в шутку, что умел считать раньше, чем говорить. Биографы Гаусса описывают такой забавный случай. В числе других своих занятий отец Гаусса в летнее время брался за выполнение каменщицких работ. Для этого он нанимал рабочих и каждую субботу аккуратно рассчитывался с ними. Расчет был сложен, поскольку за внеурочную работу в дни отдыха причиталась дополнительная оплата. В один из субботних вечеров, когда предстояла выплата причитавшихся рабочим денег, отец Гаусса, готовый приступить к выплате, вдруг услышал возглас трехлетнего Карла: «Отец, счет неверен, должно быть столько-то», и мальчик назвал сумму. Оказалось, что Карл, уже уложенный для сна в постель, вместо того, чтобы спать, следил за вычислениями отца и проверял расчеты. После проверки вычислений изумленный отец действительно обнаружил ошибку, и число, названное Карлом, оказалось верным. В 1784 г. семилетний Гаусс поступил в Екатерининскую народную школу. Там он сразу же стал выделяться своими математическими способностями. На него обратили внимание высокопоставленные лица в Брауншвейге. В 1788 г. Гаусс перешел в гимназию, сразу во второй класс. Внимание и материальная поддержка герцога Брауншвейгского Карла Вильгельма Фер- 134 1. Классическая механика. Математизация естествознания динанда позволили Гауссу в 1792 г. поступить в Каролинскую Коллегию, а затем в 1795 г. в Гет- тингенский университет. К этому времени Гаусс уже был знаком с творениями Эйлера и Лагранжа и ревностно занимался собственными математическими исследованиями. Именно в Геттингене в 1795 г. он открыл способ (метод) наименьших квадратов. Гауссу в то время было восемнадцать лет! С этого времени жизнь Гаусса была посвящена математике и естествознанию. Гаусс окончил занятия в университете в 1798 г. К этому времени он закончил свои замечательные работы по тео- Карл Фридрих Гаусс Рии чисел и начал работу над «Арифметическими исследованиями», вышедшими в свет в 1801 г. при содействии герцога Брауншвейгского. Гаусс первую свою книгу ставил очень высоко. В ней проложены новые пути в самых различных разделах математики, а также в теоретической и практической астрономии. В 1799 г. Гаусс представил философскому факультету Гельмтедтского университета ученую «Записку», на основании которой ему была присвоена докторская степень (заочно). К концу девяностых годов Гауссом была расширена область применения способа наименьших квадратов, разработан новый аналитический метод вычисления Пасхи, применяемый сначала только к Юлианскому и Григорианскому календарям, а в последствии и к еврейскому календарю. К этому времени имя Гаусса уже было широко известно в ученом мире Европы. Русское правительство вело переговоры о поступлении Гаусса на службу в Петербургскую обсерваторию, однако, эти переговоры не имели успеха. Практическая астрономия всегда интересовала Гаусса. Большое научное Когда предстояла выплата причитавшихся рабочим денег, отец Гаусса... вдруг услышал возглас трехлетнего Карла: «Отец, счет неверен...» 135 Раздел II. Основные направления классической науки значение получили его исследования по определению орбиты открытой в 1801 г. планеты Церера. Поначалу открытое светило посчитали кометой. Когда же открывший Цереру астроном Пиацци изменил свое мнение и высказал предположение, что это планета, светило было потеряно астрономами. Чтобы сделать «вторичное открытие» новой планеты более достижимым, астрономы должны были обратиться к вычислению ее орбиты, располагая лишь небольшим количеством наблюдений, проведенных Пиацци. Гауссу удалось вычислить параметры орбиты Цереры, по которым она была, как бы вторично, открыта. Вскоре была открыта еще одна малая планета, названная Палладой, орбиту которой вычислил Гаусс. Летом 1807 г. Гаусс принял предложение занять место директора обсерватории Геттингенского университета и на всю свою жизнь свел свою судьбу с этим университетом. В первые годы пребывания в Геттингенском университете главным предметом занятий Гаусса было сочинение «Теория движения небесных тел по коническим сечениям, окружающим Солнце», в котором излагались методы вычисления орбит планет и комет, более совершенные, чем методы Ньютона и Эйлера. В этом же сочинении Гаусс впервые дал свое изложение оснований способа наименьших квадратов, которым он владел, как уже отмечалось, с1795 г. Несомненно, что к методу наименьших квадратов Гаусса привела практическая потребность обработки измерений таким образом, чтобы они приводили к наилучшей точности. Необходимо отметить, что к способу наименьших квадратов независимо от Гаусса пришел французский математик Лежандр, но приоритет признан за Гауссом. В 1818—1832 гг. большое место в жизни Гаусса занимали геодезические исследования Ганноверского королевства. Экономическое и военное значение карт в начале XIX века существенно возросло, поэтому геодезические работы хорошо финансировались. Основная методика геодезических съемок (триангуляции) была по сути своей проста. Начинающаяся с некоторой основной линии точно определенной длины территория, подлежащая геодезической съемке, покрывалась сетью треугольников. Стороны этих треугольников определялись пределами видимости, то есть всегда должны были быть в этих пределах. Координаты точек на местности вычислялись путем решения треугольников, при этом каждая «точка», координаты которой определялись, должна быть видна с двух направлений, а еще лучше более чем с двух. Для контроля измерялись углы сравнительно больших треугольников, охватывающих малые. Такая работа требовала огромного числа измерений и предполагала большой объем вычислений. После 1815 г. практически все страны центральной Европы предприняли геодезические съемки. Гаусс, уже имевший опыт геодезических съемок, составил меморандум для своего правительства, в котором описал проект съемок. Вскоре последовал положительный ответ, и Гаусс стал директором проекта. Специфика топографии Ганновера создала дополнительные трудности для съемок. Плоская местность Ганноверского королевства была покрыта лесами. Необходимых для проведения измерений просек не хватало. Для облегчения измерений Гаусс придумал специальный прибор — гелиотроп, который стал 136 1. Классическая механика. Математизация естествознания любимым изобретением Гаусса. В этом приборе использовались подвижные небольшие зеркала, отражавшие рассеянный солнечный свет и передававшие его в виде узкого луча с одного пункта наблюдений на другой. Гелиотропы позволяли просматривать гораздо большие расстояния и работать при пасмурной погоде. Интересно отметить, что Гаусс считал гелиотроп подходящим средством связи между землянами и населением других планет. Гаусс всерьез рассматривал такой вопрос, считая возможным существование цивилизаций на планетах и Солнце. При проведении Ганноверской триангуляции Гаусс широко использовал метод наименьших квадратов, наиболее зрелое изложение, которого дано им в работе «Теория комбинаций наблюдений, подверженных наименьшим ошибкам», часть I (1821 г.) и часть II (1823 г.). Остановимся вкратце на несколько необычном названии метода обработки измерений — «способ наименьших квадратов». Известно, что если произведено несколько измерений одной и той же величины, то за значение измеряемой величины часто принимают арифметическую середину. Это правило оправдывается тем важным обстоятельством, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины меньше, чем сумма квадратов уклонений тех же измерений от всякой другой, произвольно взятой величины. Вот почему сам способ вывода арифметической середины и все его следствия, имеющие колоссальное значение в методах обработки результатов измерений, называются способом наименьших квадратов. В рамках способа наименьших квадратов Гауссом была выведена функция распределения вероятности ошибок измерений, носящая название «га- уссовское распределение». Эта функция имеет фундаментальное значение и используется для описания случайных процессов в самых различных их проявлениях — в измерительной технике, при описании помех и сигналов в системах передачи информации, при расчете вероятностей тех или иных событий и во многих других случаях. Работы Гаусса по математической обработке результатов измерений привели геодезию в самую тесную связь с астрономией, позволили распространить методы вычислений, использовавшиеся традиционно в землемерии, на решение разнообразных измерительных задач. Метод наименьших квадратов стал для Гаусса не только теоретическим средством в экспериментальных исследованиях. Гаусс все больше придавал ему мировоззренческий характер, считал метод наименьших квадратов самым надежным свидетельством связи математики с природой. Гаусс пришел к убеждению, что любое природное явление можно исследовать математическими методами, что степень математизации естественных наук указывает на меру понимания законов природы. Кроме метода наименьших квадратов, Гаусс считал важнейшими для понимания природы теорию потенциала, включая закон Кулона, вариационное исчисление, экстремальные принципы, теорию чисел. Ганноверская триангуляция привела Гаусса к двум крупным теоретическим работам, а именно: «Определение разности широт между обсерватори- 137 Раздел II. Основные направления классической науки ями Геттингена и Альтона из наблюдений с зенитным сектором Рамсдена» (1828 г.) и «Исследования по высшей геодезии», часть I (1843 г.) и часть II (1846 г.). Обе эти работы оказали огромное влияние на развитие геодезии и картографии. В работе «Определение разности широт...» развит метод наименьших квадратов применительно к определению сжатия земной поверхности. В первой части «Исследований...» рассмотрен частный случай отображения эллипсоида на сферу. Одним из направлений высшей геодезии является задача отображения неплоских поверхностей на плоскость. Разработанный Гауссом математический метод позволяет применить в геодезии обычную сферическую тригонометрию. Дифференциальная геометрия, в рамках которой решаются задачи отображения поверхностей, развивалась одновременно с интегральным и дифференциальным исчислением. Основы дифференциальной геометрии были заложены Эйлером и Лежандром. Гаусс активно включился в решение одной из важнейших проблем картографии — поиск наилучшей проекции Земли на плоскость. В своем труде «Решение в общем виде задачи: изображение частей заданной поверхности на другой заданной поверхности с сохранением подобия в бесконечно малых частях», представленном на конкурс Датской Академии наук, Гаусс выводит общий критерий конформности для отображений из произвольных областей в произвольные. По формулировке самого Гаусса, задача состояла в том, чтобы «образ был похож на оригинал в своих мельчайших частях». Геодезическая деятельность Гаусса постоянно пробуждала его интерес к основам геометрии, в частности к постулату Евклида о параллельных прямых. Гаусс был убежден в возможности построения неевклидовой геометрии, но всю свою жизнь помалкивал о своих убеждениях, считая дискуссии по этому вопросу пустой тратой времени. Первое математически корректное изложение свойств неевклидовой геометрии было опубликовано в 1831 г. Яношем Больяи. Отец Яноша Больяи был другом Гаусса. В письме к нему от 6 марта 1832 г. Гаусс отмечает, что знает результаты Яноша уже 30-35 лет, и поэтому не может хвалить работу Яноша, потому что «хвалить ее значило бы хвалить самого себя» (это замечание не делает чести Гауссу). Гаусс был одним из первых математиков в Европе, кто понял и оценил исследование Лобачевского по неевклидовой геометрии, опубликованное в брошюре «Геометрическое исследование по теории параллельных линий», вышедшей в Берлине в 1844 г. Именно в связи с идеями Лобачевского Гаусс начал учить русский язык. Его любимым поэтом был Пушкин. В область физических исследований ввел Гаусса Вильгельм Вебер — профессор физики Геттингенского университета. Вместе с Вебером Гаусс принимает участие в решение конкретных технических и инженерных задач, однако и здесь Гаусс остается верным себе — решение технических задач сопровождается глубокими теоретическими исследованиями. Гаусс развивает «теорию потенциала», усматривая в законе Кулона проявление фундаментального взаимодействия, присущего Природе, Большое внимание Гаусс уделял 138 1. Классическая механика. Математизация естествознания изучению земного магнетизма. Исследования Гаусса, как и его современников, занимавшихся вопросами земного магнетизма, имели целью составить карту магнитного поля Земли и собрать информацию о локальных, глобальных и временных изменениях этого поля. По инициативе Гаусса в 1833 г. была построена магнитная обсерватория в Геттингене. Одним из самых знаменитых экспериментальных исследований Гаусса, проведенных совместно с Вебером, стал электромагнитный телеграф. Первый их действующий телеграф был построен в 1833 г. Он имел дальность действия примерно 5000 футов. Гаусс прекрасно понимал практическую значимость телеграфа и предлагал крупномасштабные проекты по его построению, которым, однако, не суждено было свершиться. Нельзя не упомянуть исследований Гаусса в области оптики. Наиболее значимой в этой области являлась его статья «Диоптрические исследования», вышедшая в 1840 г. В ней он решает задачу сведения многокомпонентной оптической системы к однокомпонентной, то есть задачу «сложения» оптических систем, остающуюся актуальной для расчета оптических систем и сегодня. Преподавательскую деятельность Гаусс недолюбливал, но к старости он стал получать удовольствие от общения с аудиторией, от лекций по астрономии и математике, а в особенности по способу наименьших квадратов. В 1849 г. в Геттингене праздновался 50-летний юбилей получения Гауссом докторской степени. Во время торжества Гауссу были вручены многочисленные знаки признания его заслуг, он был удостоен почетного гражданства, орденов различных государств. Со времени празднования юбилея прежде напряженная научная деятельность Гаусса стала постепенно ослабевать. Ухудшилось состояние его здоровья. С января 1855 г. Гаусс уже не принимал посетителей. В феврале величайшего математика не стало. Гаусс видел в математике одно из главнейших средств развития человеческого духа, приравнивая в этом отношении математику к изучению классической литературы. Из древних математиков Гаусс выше всех ставил Архимеда. Больше всего Гаусс уделял внимание такому подходу к математическим исследованиям, при котором был бы возможен контроль за ходом вычислений, поэтому Гаусс старался подчинить вычисления геометрическим толкованиям. Безграничная любовь Гаусса к математике не мешала ему признавать, что существуют вопросы более высокого свойства. В кругу друзей Гаусс сказал однажды: «Есть вопросы, решению которых я придал бы неизмеримо большее значение, чем решению математических вопросов, это именно вопросы об этике, о наших отношениях к Богу, о нашем назначении и нашей будущности; но это решение для нас недостижимо, как совершенно выходящие из области науки». Гаусс был глубоко религиозным человеком. Он по-своему обосновал существование загробной жизни, представляя духовную жизнь как великую 139 Раздел II. Основные направления классической науки вселенскую систему права, проникнутую вечной истиной. Окончание жизни после смерти Гаусс считал не совместимым с этой системой права. Он считал так: «Если бы задача Высшего Существа в создании на отдельных небесных телах тварей с исключительной целью заставить их прожить 80 или 90 лет для того только, чтобы приготовить им ... наслаждения, то это была бы жалкая задача. Живет ли душа 80 или 80 миллионов лет, раз она должна погибнуть — не важно, так как разница в промежутках времени в том или другом случае составляет, в сущности, незначительную отсрочку. В конце концов, время все-таки должно пройти. Поэтому поневоле приходишь к взгляду (в пользу которого говорит очень многое другое даже и без строго научного обоснования), что наряду с этим материальным миром существует еще и другое чисто духовное мироустройство с такими же многоразличиями, как и то, в котором мы живем — к нему-то мы и должны быть сопричислены». Завершая обзор, посвященный математизации естествознания, отметим, что аппарат математического анализа, разработанный Ньютоном и Лейбницем, и математические обобщения и развития, сделанные Эйлером, Далам- бером, Лагранжем, Лапласом, Гауссом и другими математиками XVIII в., создали методическую основу для исследований в самых различных направлениях естествознания и прежде всего в механике, термодинамике, электродинамике, оптике.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Математическая обработка измерений. Гаусс» з дисципліни «Історія науки»
