Динамические модели структурно более сложны, чем статические, поскольку призваны отображать ход исследуемых процессов. Они во многом напоминают процедуру интегрирования (выполненного для дискретного случая на ограниченном временном промежутке), когда имеется известное уравнение, выражающее скорость процесса (аналог производной), и для каждого временного интервала идет расчет (интеграция, суммирование) результатов процесса, достигнутых к данному шагу. Получается, что для расчета зависимых переменных, характеризующих результат процесса, достигнутый к определенному времени, приходится восстанавливать всю динамику, предшествующую этому моменту. В этом смысле динамическая имитационная модель "живет своей жизнью", и параметры скоростных уравнений характеризуют механизм этого процесса. Рассмотрим этапы моделирования процесса на примере. В течение последних 10 лет на о. Кижи (Онежское озеро, Карелия) изучалась популяция обыкновенной гадюки. Животных метили, определяли встречаемость меченых особей (m) в повторных пробах разного объема (n). Так, из 158 гадюк, помеченных в 1994 г., проба 1995 г. (n = 365 экз.) содержала m = 18 особей (табл.10.3, графы n, m). Таблица 10.3 A B C D E F G H I 1 Год n m N' d' M' m' Ф 2 1994 158 5000 158
8 С = 4.2 N = 5000 Сост. = 109 9 df = 3 Nd = 500 Sост. = 36 10 Собщ. = 53 Nb = 500 F = -1.6 11 Sмод. = -57 d% = 10
Положим целью моделирования определение ежегодной численности (N) и смертности (Nd) в островной популяции гадюк (при отсутствии массовых миграций). Обычные методы расчетов здесь не работают, т. к. в данном случае не выполняются важные требования (отсутствие смертности, только троекратный отлов и т. д.). Для иллюстрации работы метода имитации покажем решение упрощенной задачи, приняв ежегодную численность и смертность в островной популяции гадюки неизменной: N = Ni = const (i = 1994, … 1998), Nd = const. Главный момент имитационного моделирования состоит в том, чтобы выразить известные переменные через неизвестные параметры. Имитационная модель должна вычислять те же величины, что наблюдаются в природе, опыте. Тогда появляется возможность, перебирая возможные значения параметров, найти такие, при которых модельные значения переменных совпадут с реальными. В этом случае можно обсуждать найденные значения параметров как характеристику механизма наблюдаемого явления. Для популяции гадюки нам известны следующие переменные: число одноразово меченых животных (M), объемы повторных отловов (n), число повторно отловленных особей в каждой новой пробе (m). Неизвестными остаются общая численность (N), число ежегодно гибнущих особей (Nd) и объем пополнения (Nb) популяции. Три последних значения и требуют оценки, но их необходимо задать сразу же в первом приближении. Разместим их на электронном листе Excel (табл. 10.3) в отдельном блоке: F8 =5000, F9 =500, F10 =F9, D2 =F8. В реальной популяции численность ежегодно поддерживается балансом процессов гибели и пополнения: Ni+1 = Ni – Nd + Nb. Эта динамика в формате Excel примет вид: D3 =D2-$F$9+$F$10, D4 =D3-$F$9+$F$10, …, D6 =D5-$F$9+$F$10 (табл. 10.3, столбец D). Несмотря на множество формул, их ввод не составляет проблемы, достаточно одну формулу ввести вручную, а остальные – с помощью операции "автозаполнение" (см. инструкцию к Excel). При этом важно следить за тем, чтобы ссылки на общие параметры были абсолютными, т. е. содержали префиксы $, например $F$9. После ввода всех формул в таблице Excel отображаются результаты расчетов; в данном случае численность сохраняется неизменной N'I = 5000 экз. (табл. 10.3, графа N'). Ежегодная смертность, в том числе среди меченых, составит: d'i = Nd/N'i , или в формате Excel: E3 =$F$9/D3, … (графа d'). Число погибших меченых особей составит: dM = d'i · M, а число выживших меченых будет равно: M'i+1 = M'i – d'i · M , или F3 =F2-F2*E2, … (графа M'). Как видно из табл. 10.3, число меченых гадюк со временем сокращается. Сокращаться должно и число повторно отловленных меток (m'). Поскольку концентрация меченых особей равна pM'i = M'i / N'i, то число меченых в пробе объемом n составит: m'i = n i · pM'i = n i · M'i/ N'i , или G3 =B3*F3/D3, …, G6 =B6*F6/D6 (графа m'). Модельное число повторно отловленных гадюк (m') уменьшается, но сильно отличается от наблюдаемых значений (m). Это говорит о том, что произвольно взятые величины N и Nd не соответствуют реальности. Для расчета степени отличия модели от натурных наблюдений используем формулу: di = (mi – mi')2, или I3 =(C3-G3)^2,…(табл. 10.3, графа Ф). Общее отличие есть сумма всех частных отличий: I8 =СУММ(I3:I6). В нашем случае это обобщенное отличие (функция невязки) равно Ф = 109. Понятно, что если бы модель абсолютно точно описывала реальность, то функция невязки была бы равна нулю. С помощью макроса "Поиск решения" пытаемся выполнить это условие. После вызова макроса остается заполнить его окно, т. е. указать, что целевой ячейкой выступает ячейка I8 (со значением функции невязки), что она должна быть равной значению 0, что для этого можно изменять значения в ячейках F8:F9. Нажимаем кнопку "Выполнить", вслед за этим появляется окно "Результаты поиска решения", выбираем "Сохранить результаты", ОК. Для нашего примера они представлены в таблице 10.4
Таблица 10.4 A B C D E F G H I 1 Год n m N' d' M' m' Ф 2 1994 158 3086 158
Как видно из табл. 10.4, при численности островной популяции обыкновенной гадюки, равной N = 3086 экз., и смертности d = 7.4% модельная динамика снижения числа меченых животных оказалась почти такой же, что наблюдалась и в поле. "Почти", потому что функция невязки так и не обнулилась, после настройки Ф = 6. Для решения вопроса, соответствует ли модель реальности, предлагается несколько способов; используем дисперсионный анализ линейной регрессии. В соответствии с рассмотренной выше схемой модель считается адекватной, если модельная дисперсия достоверно больше остаточной; в этом случае критерий Фишера F = S²мод./S²ост. превысит табличное значение F(0.05,df.мод.,df.остат.). Для расчета дисперсий нужно определить модельную и остаточную сумму квадратов. Остаточная сумма квадратов и есть функция невязки, получаем: S²ост. = Сост./(n–1), или I9 =I8/C9. Модельная дисперсия равна модельной сумме квадратов, поскольку число степеней свободы для ее расчета, S²мод. = Смод./dfмод., равно единице dfмод. = 1. Модельную сумму квадратов находят как разность между общей и остаточной: Cмод. = Cобщ. – Cост. или C11=C10–I8. В свою очередь, общую сумму квадратов можно определить с помощью особой функции листа Excel, подсчитывающей сумму квадратов отклонения вариант от средней C10 =КВАДРОТКЛ(C3:C6). Величина критерия Фишера составит: F = S²мод./ S²ост., или H10 =C11/I9. В нашем случае значение критерия (23) превышает табличное F(0.05,1,3) = 6.6; модель в целом адекватна наблюдаемым данным. Видимо, численность наблюдаемой островной популяции гадюки действительно приближается к 3000 экз. Рассмотренный метод оценки адекватности можно использовать и для статических имитационных моделей.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Задача изучения процессов (динамические модели)» з дисципліни «Введення в кількісну біологію»
