В рядах динамики, уровни которых являются месячными или квартальными показателями, наряду со случайными колебаниями часто наблюдаются сезонные колебания, под которыми понимаются периодически повторяющиеся из года в год повышение и снижение уровней в отдельные месяцы или кварталы. Сезонным колебаниям подвержены внутригодовые уровни многих показателей. Например, расход электроэнергии в летние месяцы значительно меньше, чем в зимние; или рыночные цены на овощи в отдельные месяцы далеко не одинаковы. При графическом изображении таких рядов сезонные колебания проявляются в повышении и снижении уровней в определенные месяцы (кварталы). В качестве иллюстрации рядов с сезонными колебаниями могут служить данные, представленные в табл. 32 и их графическое изображение (рис. 15 ). Таблица 32 . Динамика производства мороженого предприятием по месяцам, тонн Номер строки Год Месяц t
Рис. 15 . Динамика производства мороженого предприятием по месяцам, тонн Вместо месячных показателей могут быть квартальные. Если колебания не случайны, то они сохраняются и в квартальных уровнях, как это показано в табл. 33 и на рис. 16 , где месячные данные из табл. 32 преобразованы в квартальные. Таблица 33 . Динамика производства мороженого предприятием по кварталам, тонн Год Кварталы Итого 1 2 3 4 2004 110 177 163 99 549 2005 121 168 154 109 552 2006 114 191 160 94 559 Итого 345 536 477 302 1660
Рис. 16 . Динамика производства мороженого предприятием по кварталам, тонн Наблюдение за сезонными колебаниями позволяет устранить их там, где они нежелательны, а также решить ряд практических задач, например, определить потребности в сырье, рабочей силе в тех отраслях, где влияние сезонности велико. При изучении рядов динамики, содержащих «сезонную волну», ее выделяют из общей колеблемости уровней и измеряют. Существует 2 основных метода для решения этой задачи: расчет индексов сезонности и гармонический анализ. Индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень ряда в определенный момент или интервал времени t больше среднего уровня, либо уровня, вычисляемого по уравнению тренда ( ). Способы расчета индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия тренда. Если тренда нет или от незначителен, то для каждого месяца (квартала) индекс сезонности определяется по формуле (106) : , (106 ) где Yt – уровень ряда динамики за месяц (квартал) t; – средний уровень всего ряда динамики. Индексы сезонности желательно рассчитывать для рядов динамики, длиной в несколько лет, тогда формула индекса сезонности примет следующий вид: , (107 ) где – средний уровень ряда динамики по одноименным месяцам t за T лет. Например, по данным таблицы 32 , представляющим ряд динамики за 3 года, индексы сезонности будем рассчитывать по формуле (107) , для чего сначала рассчитаем (4-я строка таблицы 32 ), а затем, разделив полученные значение на T=3, получим средние уровни за каждый месяц (5-я строка таблицы 32 ). Средний уровень всего ряда определяем по формуле средней арифметической простой: . В 6-й строке таблицы 32 определены индексы сезонности для каждого месяца по формуле (107) , то есть делением значений в 5-й строке на 46,111. При наличии тренда индексы сезонности определяются определяются аналогично по формулам (106) – (107) с учетом замены на выравненные по уравнению тренда уровни . На основе найденных индексов сезонности и тренда можно спрогнозировать (экстраполировать) ряд динамики по формуле: . (108 ) Особое место при анализе сезонных колебаний занимает гармонический анализ сезонных колебаний, в котором осуществляется выравнивание ряда динамики с помощью ряда Фурье, уровни которого можно выразить как функцию времени следующим уравнением: . (109 ) То есть сезонные колебания уровней динамического ряда можно представить в виде синусоидальных колебаний. Поскольку последние представляют собой гармонические колебания, то синусоиды, полученные при выравнивании по ряду Фурье, называют гармониками различных порядков (показатель k в этом уравнении определяет число гармоник). Обычно при выравнивании по ряду Фурье рассчитывают несколько гармоник (чаще не более 4) и затем уже определяют, с каким числом гармоник ряд Фурье наилучшим образом отражает изменения уровней ряда. При выравнивании по ряду Фурье периодические колебания уровней динамического ряда представлены в виде суммы нескольких синусоид (гармоник), наложенных друг на друга. Так, при k=1 ряд Фурье будет иметь вид , (110 ) а при k=2, соответственно, (111 ) и так далее. Параметры уравнения теоретических уровней, определяемого рядом Фурье, находят, как и в других случаях, методом наименьших квадратов. Приведем без вывода формулы , используемые для исчисления параметров ряда Фурье: ; ; . (112 ) Последовательные значения t обычно определяются от 0 с увеличением (приростом), равным , где n – число уровней эмпирического ряда. Например, при n=10 временнЫе точки t можно записать следующим образом: , или (после сокращения): ; ; ; ; ; ; ; ; . При n=12 значения t приведены в первой строке таблицы 34 , а во второй и третьей строках определены значения sinkt и coskt для первой гармоники. Таблица 34 . Значения sinkt и coskt для первой гармоники 12-ти уровнего ряда динамики t 0 (/6 (/3 (/2 2(/3 5(/6 ( 7(/6 4(/3 3(/2 5(/3 11(/6 cost 1 0 – – –1 – – 0 sint 0 1 0 – – –1 – – В таблице 35 приведены исходные данные (графы 1 и 2) и расчет показателей, необходимых для получения уравнений первой гармоники (k=1) по формуле (112) . Таблица 35 . Вспомогательные расчеты параметров ряда Фурье Год Месяц (t) Итого
январь (0) февраль ((/6) март ((/3) апрель ((/2) май (2(/3) июнь (5(/6) июль (() август (7(/6) сентябрь (4(/3) октябрь (3(/2) ноябрь (5(/3) декабрь (11(/6) 2004 y 30 35 45 55 58 64 69 52 42 35 33 31
31,71 37,84 46,18 54,51 60,58 62,78 60,51 54,39 46,04 37,72 31,64 29,44 2006 y 33 39 42 56 62 73 65 56 39 35 31 28 1660 ycost 33 33,77 21 0 -31 -63,2 -65 -48,5 -19,5 -0 15,5 24,25 -259,234 ysint 0 19,5 36,37 56 53,69 36,5 0 -28 -33,8 -35 -26,8 -14 151,122 31,71 37,84 46,18 54,51 60,58 62,78 60,51 54,39 46,04 37,72 31,64 29,44 1660 Искомое уравнение первой гармоники имеет вид: = 46,111–14,402cost + 8,396sint, подстановкой в которое значений t в последней строке табл.35 получены теоретические значения объема производства мороженого по месяцам, а на рис.17 приведено графическое изображение, из которого видно, что различия эмпирических и теоретических уровней незначительны.
Рис. 17 . Динамика производства мороженого предприятием, тонн Аналогично рассчитываются параметры уравнения с применением второй, третьей и т.д. гармоник , а затем выбирается наиболее адекватное уравнение, то есть с минимальной ошибкой аппроксимации. На основе подобранного уравнения по ряду Фурье можно прогнозировать (экстраполировать) развитие уровней ряда в будущем по формуле (104) . Например, определим доверительные интервалы производства мороженого на январь 2007 года с вероятностью 0,95, для чего найдем ошибку аппроксимации по формуле (105) : = = 4,727 и определим коэффициент доверия по нормальному распределению (так как число уровней n>30) по Приложению 1: t = 1,96. Тогда прогноз на январь 2007 года с вероятностью 0,95 по формуле (104) : Yянв07 = 31,71 1,99*4,727 или 22,44<Y2007<40,974 (т).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Анализ сезонных колебаний» з дисципліни «Теорія статистики»
