Измерения принято разделять на прямые и косвенные. Прямые измерения – это такие измерения, при которых измеряемая величина непосредственно сравнивается с выбранной единицей. Прямые измерения обычно выполняются с
использованием количественных или качественных шкал. Примеры:
Измерения в количественных шкалах: • • • •
площадь (сравнивается с м2 – 100 м2, 200 м2); расстояние (сравнивается с линейным метром – 1000 м, 5000 м). качество конструкции (плохое, хорошее); тип стен (деревянные, кирпичные, блочные).
Измерения в качественных шкалах:
Косвенные измерения – это такие измерения, при которых непосредственно измеряются некоторые вспомогательные величины (характеристики), а искомая величина (показатель) находится по формулам, связывающим эту величину с вспомогательными величинами. Примеры: арендная ставка, рыночная стоимость, коэффициент капитализации. Классификация погрешностей
1. Грубые ошибки (промахи) – ошибки, являющиеся, как правило, результатом недостаточной квалификации, невнимательности или недобросовестности субъекта измерения. Они могут быть обнаружены и устранены. 2. Систематические (ошибки) погрешности – погрешности, источником которых являются постоянно действующие факторы. Примеры: инструмент измерения, параметры которого отличаются от эталонного;
интерес субъекта измерения в сознательном искажении (в одну сторону) результата измерения. Систематические ошибки могут быть обнаружены и устранены путем, например, привлечения для измерений другого субъекта измерения.
http://www.natahaus.ru/
3. Случайные погрешности – погрешности, обусловленные действием множества факторов случайного характера, проявление которых предсказать невозможно. Из-за действия случайных факторов ни одно измерение не может быть выполнено абсолютно точно. Случайные ошибки устранить невозможно, но можно оценить. Свойства случайных равноточных измерений
Измерения называются равноточными, если все они выполняются в одних и тех же условиях, по одним и тем же правилам и все результаты одинаково надежны. Свойства равноточных измерений: 1. Симметричность: число положительных ошибок примерно равно числу от-
рицательных ошибок такой же величины. Это свойство проявляется тем лучше, чем больше произведено измерений. 2. 3. Унимодальность: мелкие ошибки встречаются чаще, чем крупные. Частота
появления ошибок есть убывающая функция ее величины. Ограниченность: величина наиболее крупных ошибок практически не пре-
восходит некоторого предела, зависящего от точности измерений. Самую большую ошибку в данном ряду принято называть предельной ошибкой. 4. Компенсация: алгебраическая сумма всех случайных ошибок стремится к
нулю. Если i-ю ошибку обозначить через ΔXi, то свойство компенсации можно представить в виде предела: lim ∑ ΔX i = 0 . n→∞
Среднее арифметическое значение измеряемой величины
Пусть в результате n равноточных измерений некоторой величины, истинное значение которой есть X (оно нам неизвестно), получен набор чисел x1, …, xn. Cоставим разности между измеренными и истинными значениями указанной величины и обозначим их соответственно ΔX1, , …,ΔXn, т.е. x1 − X = ΔX 1 ⎫ x2 − X = ΔX 2 ⎪ ⎪ ⎪ ... ⎬. ⎪ ⎪ xn − X = ΔX n ⎪ ⎭
(4.1)
180
Разности (4.1) называют истинными абсолютными ошибками или абсолютными по-
грешностями отдельных измерений. Они могут быть как положительными, так и отрицательными, а также различными по абсолютной величине. Складывая разности (4.1) почленно и решая полученное выражение относительно X, получим
X =
1 n 1 n ∑ xi + n ∑ΔX i . n i =1 i =1
(4.2)
Первое слагаемое правой части (4.2) представляет собой среднее арифметическое из результатов всех n измерений и обозначается x :
x=
1 n ∑ xi . n i =1
(4.3)
Величину x (точнее, ее предел при n→∞) называют также математическим ожиданием. Второе слагаемое в правой части (4.2) при достаточно большом n в соответствии со свойством компенсации обращается в нуль:
1 n ∑ ΔX i = 0 . n → ∞ n i =1 lim Следовательно, при n→∞ имеем x →X, то есть математическое ожидание при бесконечном числе измерений в точности равно истинному значению измеряемой величины:
1 n ∑ xi = X . n → ∞ n i =1 lim В действительности число n всегда конечно. То есть практически всегда x ≠X. Законы теории вероятности утверждают, что среднее арифметическое из всего набора чисел, полученных при измерениях (при любом числе n), является наилучшим приближением к истинному значению величины X. Для достижения хорошего результата число измерений одной и той же величины должно быть больше, чем 30. Однако на практике часто ограничиваются 5-7 измерениями. В этом случае для оценки ошибки желательно вычисление поправочных коэффициентов (коэффициентов Стьюдента), штрафующих исследователя за малость выборки увеличением ошибки измерения. Значение x практически всегда принимается за истинное значение измеряемой величины. Например, при определении абсолютных ошибок отдельных измерений в выражении (4.1) вместо истинного значения X берут среднее арифметическое x .
http://www.natahaus.ru/
Получаемые при этом ошибки называются кажущимися (или остаточными) абсо-
лютными ошибками отдельных измерений. Мы будем называть их просто абсолютными ошибками отдельных измерений и обозначать через Δxi : x1 − x = Δx1 ⎫ x2 − x = Δx2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎬. ⎪ ... ⎪ ⎪ xn − x = Δxn ⎭
(4.4)
В действительности при измерении всегда находятся именно ошибки, выражаемые равенствами (4.4), а не (4.1), которые остаются для нас неизвестными так же, как неизвестно и само истинное значение X. Абсолютная и относительная ошибка результата измерений
По ошибкам отдельных измерений (4.4) вычисляется абсолютная ошибка результата, характеризующая результат всех n измерений. Значение этой ошибки должно указываться в окончательном результате измерений наряду со средним арифметическим значением измеряемой величины. Принято записывать результат измерений в виде двух слагаемых: x ± Δx .
(4.5)
Абсолютная ошибка Δx - величина размерная и выражается в тех же единицах, что и сама измеряемая величина. В качестве абсолютной ошибки в теории ошибок рекомендуется брать среднее квадратическое отклонение от среднего значения или среднюю квадратическую ошибку (СКО)36 среднего значения, для которой разработаны способы ее вероятностной оценки. Считается, что она является наиболее полным и рациональным критерием точности для случайных равноточных измерений. Абсолютная ошибка Δx является важной и необходимой характеристикой точности измерения, но не достаточной. Для того чтобы сделать вывод о точности измерения случайной величины чаще используется так называемая относительная ошибка измерения:
δx =
Δx x
Ч 100% .
(4.6)
36 Часто СКО называют стандартным отклонением
182
Относительная ошибка является безразмерной величиной и является характеристи-
кой ошибки метода измерения. Она позволяет сравнивать точности независимых измерений разной размерности.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Классификация и свойства случайных измерений» з дисципліни «Оцінка дохідної нерухомості»
