Найдем сначала среднюю длину очереди и вероятность появления очереди заданной длины на единственной станции обслуживания. Предположим, что скорость поступления и обслуживания случайны и не зависят от неограниченной длины очереди.
Модель 1. Обозначим Рn – вероятность образования очереди из n заказов (включая и находящийся в обслуживании) в произвольный момент времени, λ – средняя скорость появления заказов, μ – средняя скорость обслуживания одного заказа. Вероятность Рn имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время наличия очереди длиной n при функционировании системы в стационарном режиме. Например, если Р0 = 1/2, то это означает, что в среднем половину рабочего времени очереди нет (оборудование простаивает). Справедливы следующие формулы: Рn = ηn(1 – η). (2.6.1) Величина η = λ/μ называется интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки станции. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Найдем n – среднее число заявок, находящихся в системе n = λ/(μ – λ ). (2.6.2) Для wt – среднее время ожидания обслуживания , справедливо
wt = 1/(μ – λ ) – 1/μ. (2.6.3) Для wn – средняя длина очереди
wn =λ wt . (2.6.4) Пример 2.6.2. Пусть заказы на обслуживание поступают со средней интенсивностью λ = 5 заявок в час. Продолжительность выполнения одной заявки в среднем равна 10 мин., т.е. μ =60/10=6 з/ч. Поскольку η=λ/μ= 5/6< 1, система может функционировать в стационарном режиме. Найдем среднее время ожидания обслуживания wt = 1/(μ –λ)–1/μ =1/(6–5)–1/6=5/6 (50мин), тогда
217 среднее число клиентов, ожидающих обслуживания, равно wn =λ wt =25/6=4.17≈4. Для «разумного» обеспечения местами прибывающих клиентов зададимся целью обеспечить одновременно сидячими местами, например, 80% клиентов. Это эквивалентно выполнению условия Р0 + Р1 + Р2 + …+ Рw ≥ 0.8, где w – подлежащее определению число мест. Используя (2.6.1) (1 – η) + η(1 – η) +…+ ηw(1 – η) ≥ 0.8. учитывая, что (1 – η) + η(1 – η) +…+ ηw(1 – η) =(1 – η)(1 + η +…+ ηw) = 1 –ηw+1, получаем ηw+1 ≤ 0.2 и окончательно w ≥ ln(0.2)/ln(5/6) – 1 = 7.8 ≈ 8. Таким образом, для одновременного размещения, по крайней мере, 80% прибывающих клиентов минимальное число сидячих мест должно быть в два раза больше среднего числа ожидающих обслуживания клиентов. Важной характеристикой является также доля времени, в течение которого станция обслуживания простаивает. Вероятность такого события Р0 =1 – η ≈ 0.17. Вероятности того, что на станции обслуживается ровно один клиент (или два – один обслуживается, второй ждет) равны соответственно: Р1 =η(1 – η) ≈ 0.139, Р2 =η 2(1 – η) ≈ 0.116. Модель 2. Рассмотрим случай ограниченной очереди, когда при наличии в системе N требований ни одна из дополнительных заявок на обслуживание не принимается либо сам клиент отказывается присоединиться к очереди из-за отсутствия места в блоке ожидания. Формулы для параметров такой системы массового обслуживания: Рn = ηn(1 – η)/(1 – ηN+1), n ≤ N (2.6.5) Рn = 0, n > N. Следует отметить, что в этой модели параметр η= λ/μ не обязательно должен быть меньше единицы, поскольку число допускаемых в систему требований ограничено, и для η = 1 Рn=1/(N +1). Выражение для среднего числа находящихся в системе заявок
принимает следующий вид
218 n = η(1 – (N+1)ηN + NηN+1 )/(1 – η)/(1 – ηN+1), для η ≠1, (2.6.6) N/2, для η=1. Поскольку вероятность того, что заказ не имеет возможности попасть в очередь, равняется РN, доля заказов, поступающих в систему, равняется 1– РN ( пропускная способность системы ). Отсюда характеристики системы имеют вид: Для wn – среднее число заказов, ожидающих обслуживания:
wn = n – λ(1 – РN )/μ, (2.6.7) для wt – среднее время ожидания обслуживания :
wt = wn /λ /(1 – РN ). (2.6.8) Пример 2.6.3. Пусть в условиях примера 2.6.2 станция располагает пятью местами для ожидающих клиентов. В данном примере N =5+1=6, η=5/6, а РN =(5/6)6(1 – 5/6)/(1 – (5/6) 7) = 0.0774, N = 6. Отсюда следует, что частота случаев, когда клиент не попадает на станцию равняется λРN =5⋅0.0774=0.387 заявки в час, т.е. при 8- часовом режиме работы станция теряет за день 8·0,387=3 клиента. Применяя (2.6.6) – (2.6.8), получаем n = (5/6)(1 – 7(5/6)6 + 6(5/6)7)/(1 – 5/6)/(1 – (5/6)7)= 2.29,
wn =2.29 – 5(1 – 0.0774)/6=1.52,
wt =1.52/5 /(1 – 0.0774)=0.33 часа (20 мин.). Таким образом, при введении ограничения на количество мест для ожидания (N=6), среднее время ожидания обслуживания сократилось на полчаса. Это было достигнуто за счет «потери» в среднем 3 клиентов в день из-за недостаточности мест для ожидания. Вычислим вероятность того, что в системе обслуживаются 0, 1 или 2 клиента: Р0 =(1 – 5/6)/(1 – (5/6)7) = 0.231, Р1 =(5/6)(1 – 5/6)/(1 – (5/6)7) = 0.193, Р2 =(5/6)2(1 – 5/6)/(1 – (5/6)7) = 0.160.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Одноканальные системы массового обслуживания» з дисципліни «Математична економіка»
