Теоретико-ігрова модель вибору структури портфеля при невідомому розподілі ймовірності
Як уже зазначалось, при побудові класифікатора інформацій-них ситуацій (п. 5.1) у полі І4 розподіл імовірності станів еконо-мічного середовища невідомий, тобто компоненти вектора є невідомими, але при цьому задовольняють умовам (5.1)―(5.2). У полі третьої інформаційної ситуації (І3), окрім (5.1)―(5.2), невідомі значення компонент вектора Q задовольня-ють ще певній системі обмежень. У випадку І2, окрім (5.1)―(5.2), треба враховувати, що невідомі значення компонентів вектора Q є функціями від певної сукупності параметрів, тобто що де Ω ― множина допустимих значень вектора параметрів А тому, визначивши значення норм прибутків rij, співвідношення (7.43), (7.44) та (7.45) можна розглядати як залежності відповідно споді-ваних норм прибутку mi, дисперсій та коваріацій від змінних (ймовірностей станів економічно-го середовища). Враховуючи, що доходимо висновку, що можливі значення кількісних показників mi, σi та σil належать певним скінченним проміжкам. Так, сподівані норми при-бутку (7.43) належать відрізкам, що визначаються нерівностями
середньоквадратичні відхилення (7.14) ― відрізкам
де З урахуванням наведених міркувань, такі кількісні показники портфеля активів із структурою як його сподівана норма прибутку mП та ступінь ризику (дисперсія) що задані згі-дно з (7.3) та (7.4) відповідно, можна розглядати як функції, що за-лежать від n + N змінних, котрі для зручності об’єднаємо у вектор Принагідно нагадуємо, що компоненти вектора (Q; X) задовольняють умовам (5.1)―(5.2) та (7.48)—(7.49). Розглядаючи як ще один критерій принцип максимальної не-визначеності Гіббса—Джейнса, в полі четвертої інформаційної ситуації (І4) модель задачі щодо вибору структури портфеля мо-же задаватись у вигляді такої оптимізаційної задачі: (7.56) (7.57) (7.58) при виконанні обмежень (7.59) (7.60) (7.61) де mi, σi, σil, у свою чергу, є функціями величин q1, …, qn; При розв’язанні багатокритеріальних задач (задача (7.56)—(7.61) є трикритеріальною) [123] слід відмовитись від пошуку рішення, яке було б найкращим одночасно згідно з усіма критері-ями, оскільки воно може просто і не існувати. А це означає, що пошук прийнятного (компромісного) рішення слід здійснювати серед ефективних портфелів, для яких будь-яке інше рішення, що є кращим за одним критерієм, обов’язково буде гіршим з позиції інших (принаймні, хоча б одного з них). Введемо поняття ефективного портфеля, що є характерним для І4. Портфель зі структурою називатимемо ефективним згідно з концепцією Марковіца для інформаційної ситуації І4, якщо існує хоча б один вектор Парето задачі (7.56)—(7.61) вигляду:
Згідно з даним означенням множина Парето будується при фі-ксованому розподілі Скориставшись цією методи-кою і зафіксувавши певне значення вектора (тим самим зафіксувавши певний рівень критерія (7.58)), розв’яжемо відпові-дну двокритеріальну задачу, тобто отримаємо множину векторів Парето: (7.62) Множина критеріальних оцінок у тривимірному критеріальному просторі утворюватиме плоску криву у площині (тут значення mП відкладають по осі абсцис (Ox), значення σП ― по осі ординат (Oy), значення H(Q) ― по осі аплікат (Oz)). У свою чергу, для всіх відпо-відні критеріальні оцінки у тривимірному просторі утворю-ватимуть певну поверхню. Очевидно, що саме цій поверхні і на-лежатиме критеріальна оцінка що відповідає век-тору задачі Парето (7.56)—(7.61). Отже, як бачимо, процес побудови множини ефективних портфелів пов’язаний із суттєвими труднощами, а тому безпосе-реднє використання згаданого означення не завжди може бути конструктивним. Спрощення у цьому плані можна досягнути введенням до розгляду портфелів, що визначаються на основі та-кої дефініції. Портфель зі структурою називатимемо ефекти-вним згідно з концепцією Марковіца для будь-якого розподілу ймовірності якщо всі допустимі вектори вигляду є оптимальними за Парето для задачі (7.56)—(7.61). Вимоги, наведені в цьому означенні, є досить жорсткими, але можна вказати випадок, коли існує портфель, що є ефективним згідно з концепцією Марковіца для будь-якого розподілу ймовір-ності, а визначення його структури зводиться до парної гри з ну-льовою сумою. Розглянемо задачу створення портфеля активів як парну гру з нульовою сумою, що визначається матрицею , і нехай ця гра не має сідлової точки. Позначимо через та вектори, що відповідають оптима-льним змішаним стратегіям гравців, ― ціна гри. Виявляється [123], що у випадку, коли мають місце строгі оцінки портфель зі структурою (тобто ) є ефективним згідно з концепцією Марковіца для будь-якого розподілу ймовірності Зауваження. Звертаємо увагу на те, що строгі нерівності можуть виконуватись лише в тому випадку, коли кількість активів є не меншою за кількість станів економічного середовища, тобто коли . Пошук портфеля, що є ефективним згідно з концепцією Мар-ковіца в полі інформаційної ситуації І4, доцільно починати з оці-нки апріорних імовірностей qj станів економічного середовища . Ентропія Шеннона, що визначається формулою , досягає свого максимального значення при [123], тобто (7.63) Використовуючи знайдену точкову оцінку розподілу ймовір-ності станів економічного середовища в полі I4, отримуємо то-чкові оцінки сподіваних норм прибутків активів: (7.64) їх дисперсій (7.65) а також коваріацій між нормами прибутків активів: (7.66) Очевидно, що оцінки коваріацій мають властивості, анало-гічні коваріаціям , а саме:
Використовуючи оцінки (7.64)―(7.66) для пошуку ефектив-ного портфеля, приходимо до такої двокритеріальної оптиміза-ційної задачі : (7.67) (7.68) (7.69) Розглянемо задачу створення портфеля активів у полі як парну гру з нульовою сумою, що не має сідлової точки, і нехай вектор задає структуру ефективного портфеля в моделі Марковіца (7.67)—(7.69). Виявляється [123], що вектор де є оптимальним за Парето для задачі (7.56)—(7.58). У полі третьої інформаційної ситуації (І3) у разі, коли для ста-нів економічного середовища побудований ряд пріоритету і мають місце обмеження (7.70) або (7.71) або ж (7.72) для розрахунку точкової оцінки вектора розподілу Q можуть ви-користовуватись відповідні формули Фішберна [123]. Точкову оцінку вектора Q можна отримати також через відшукання мак-симума функції (7.58) при обмеженнях (7.60)―(7.61), до яких додаються обмеження (7.70) або (7.71), або (7.72). У полі І2 оцінка вектора Q визначається за критерієм
при виконанні умов (7.60)―(7.61), тобто здійснюється максимі-зація критерію (7.58) за сукупністю параметрів якими характеризується заданий відомий закон розподілу ймові-рності станів економічного середовища. Трикритеріальну оптимізаційну задачу (7.56)―(7.61) можна звести до однокритеріальної, якщо при виконанні обмежень (7.59)―(7.61) ввести до розгляду критерій
де ― нормалізовані критерії (7.56), (7.57) та (7.58) відповідно, ― вагові коефіцієнти пріори-тету цих критеріїв, що задовольняють умовам
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теоретико-ігрова модель вибору структури портфеля при невідомому розподілі ймовірності» з дисципліни «Ризикологія в економіці та підприємстві»
