Перші два етапи творчої складової процесу прийняття рішен-ня (див. п. 5.1) складають основу ігрової моделі. Відомо багато прикладів успішного застосування ігрової моделі як у сфері ви-робничої діяльності, так і на макроекономічному рівні. Для простоти викладу вивчатимемо гру двох гравців з нульо-вою сумою. Як уже зазначалось, гра — це сукупність правил, що описують сутність конфліктної ситуації та встановлюють: · вибір способу дій гравців на кожному етапі гри; · обсяг необхідної інформації, якою володіє кожен гравець у момент вибору свого способу дії; · плату кожного гравця після завершення будь-якого етапу гри. Чистою стратегією гравця називається сукупність рекомен-дацій щодо ведення гри від початку до її завершення. Гра називається скінченною, якщо в кожного гравця є скінченна кількість стратегій. У протилежному випадку гра є нескінченною. Нехай гра є скінченною, а результати рішень, що можуть при-йматись гравцями, можливо виразити в грошовому еквіваленті або за допомогою інших цінностей, які збирається вигравати (придбавати) кожен гравець. Тобто для кожної комбінації вибра-них гравцями чистих стратегій існує відповідна величина плате-жу. У разі парної гри ці платежі зручно подавати у вигляді платі-жної матриці. Розв’язання гри полягає в знаходженні чистих стратегій для кожного гравця, які б максимізували виграш переможця та одночасно мінімізували б програш переможеного. Однією із задач теорії гри є виявлення можливості певної рів-новаги, що називається компромісом, яка найбільшою мірою за-довольняє всіх учасників. Досить досконалою в плані пошуку компромісного рішення слід визнати теорію гри двох осіб з ну-льовою сумою, тобто такої парної гри, в якій виграш першого гравця завжди збігається з величиною програшу другого. В таких іграх, аналізуючи платіжну матрицю виграшів першого гравця, іноді можна знайти оптимальні чисті стратегії обох гравців. Нехай відома матриця платежів парної гри з нульовою сумою, де елемент платіжної матриці fkj ― це виграш першого гравця, тобто сума, яку йому платить другий гравець (програш другого гравця) у випадку використання пер-шим гравцем своєї чистої стратегії , а другим гравцем — своєї чистої стратегії . Розв’язати гру — це означає знайти оптимальну стратегію для кожного гравця. Оптимальною стратегією гравця назива-ється така стратегія, яка за багаторазового повтору гри забезпе-чує гравцеві максимально можливий середній виграш (або міні-мально можливий середній програш). Для знаходження цієї пари стратегій використовують «принцип мінімакса», сутністю якого є міркування, що супротивник зробить усе для того, щоб перешко-дити досягненню своєї цілі супротивником. Стратегію першого (другого) гравця називають оптимальною, якщо за її багаторазо-вого застосування виграш (програш) першого (другого) гравця не зменшується (не збільшується), які б стратегії не застосовував супротивник. Для першого гравця F = F+, тому платіжну матрицю виграшів він аналізує з позиції максимізації гарантованого виграшу, а са-ме: для кожної своєї чистої стратегії sk (k = 1, …, m) він визначає мінімальне значення виграшу: , , і знаходить чисту стратегію для якої . Число a+ називається нижньою ціною гри, або максиміном, а відповідна чиста стратегія першого гравця називається макси-мінною. Другий гравець ставить за мету мінімізацію свого гарантова-ного програшу. Для нього F = F –, а тому для кожної чистої стра-тегії θj він визначає величину максимального програшу: , , а потім знаходить таку чисту стратегію , що . Число β– називається верхньою ціною гри, або мінімаксом, а відповідна чиста стратегія другого гравця називається мінімаксною. Часто найбільш «обережні» СПР називають максимінну та мі-німаксну чисті стратегії загальним терміном «мінімаксні страте-гії». Мінімаксні чисті стратегії та є стійкими, тобто утво-рюють оптимальну пару стратегій у тому разі, коли нижня ціна гри дорівнює верхній. Тоді платіжна матриця F містить елемент що задовольняє умові:
(цей елемент є мінімальним у k0-му рядку та максимальним у j0-му стовпчику). Елемент називається сідловою точкою мат-риці F, величина — (5.3) чистою ціною гри, а сама гра — грою iз сідловою точкою. Таким чином, якщо гра має сідлову точку, то чисті стратегії та є оптимальними і тоді сукупність стратегії , та ціна гри утворюють розв’язок гри. Розв’язок гри має таку властивість: якщо один з гравців дотримується своєї опти-мальної стратегії, то відхилятися від своєї оптимальної стратегії для другого гравця невигідно. У загальному випадку значення ціни гри задовольняє умову:
що має місце у випадках, коли гра не має сідлової точки, а міні-максні чисті стратегії — неоптимальні. Це означає, що відшукан-ня розв’язку гри у чистих стратегіях стає неможливим і кожна із сторін може поліпшити свій стан багаторазовим випадковим ви-бором своїх певних чистих стратегій з деяких підмножин (що на-лежать множинам альтернативних чистих стратегій). Такі страте-гії називаються змішаними. Нехай P = (p1, …, pm) — розподіл імовірності щодо вибору чи-стих стратегій першим гравцем при побудові своєї змішаної стратегії, яку надалі позначатимемо через sP. Тут pk — ймовір-ність вибору першим гравцем чистої стратегії sk і при цьому , , . Аналогічно для другого гравця змі-шану стратегію позначимо через θQ, де , а qj — імові-рність вибору другим гравцем чистої стратегії θj за умови, що , , . Серед змішаних стратегій першого та другого гравців відшу-каємо оптимальні і позначимо їх через та відповідно. То-ді у загальному випадку оптимальним розв’язком гри буде суку-пність . Якщо перший гравець вибрав змішану стратегію sP, , а другий — змішану стратегію θQ, , то сподіваний виграш першого гравця (програш другого гравця) становить величину: . (5.4) Методи пошуку оптимальних розв’язків гри базуються на та-ких положеннях: 1) кожна скінченна гра двох осіб з нульовою сумою має при-наймні один (оптимальний) розв’язок, можливо у змішаних стра-тегіях; 2) якщо один з гравців застосовує свою оптимальну змішану стратегію, то його виграш дорівнює ціні гри незалежно від того, з якими ймовірностями (відносними частотами) другий гравець використовуватиме стратегії, що увійшли в його оптимальну змішану стратегію. Ці положення у вигляді теореми були сформульовані Джоном фон Нейманом та Оскаром Моргенштерном. Ними була доведена [194] так звана основна теорема теорії гри (теорема про міні-макс). Згідно з цією теоремою: , (5.5) де (5.6) (5.7) (5.8) ; ; ; (5.9) (5.10) при цьому (5.11) У [194] показано, що ціна гри має верхню та нижню межі, а саме: . Як бачимо з наведених результатів, значення ціни гри V * задає середньозважений виграш першого гравця (або середньозваже-ний програш другого гравця) при багаторазовому застосуванні оптимальних змішаних стратегій та гравців. Із співвід-ношення (5.11) випливає, що для пари стратегій та влас-тиве таке: при багаторазовому їх застосуванні виграш першого гравця не зменшується, а програш другого гравця не збільшуєть-ся, які б власні стратегії не застосував супротивник. Підсумуємо: 1) розв’язати скінченну гру з нульовою сумою ― це значить знайти оптимальні чисті стратегії гравців, якщо гра має сідлову точку; або ж знайти оптимальні змішані стратегії гравців та , а точніше — вектори та , що задовільняють теорему про мінімакс, тобто умовам (5.5)—(5.11), а також отримати ціну гри; 2) будь-яка парна матрична гра має розв’язок, якщо допуска-ється використання змішаних стратегій; 3) гра без сідлової точки має розв’язок, можливо, не єдиний, якщо хоча б один з гравців використовує оптимальну змішану стратегію. Таким чином, загальноприйняте поняття оптимальності роз-ширюється за рахунок включення таких важливих елементів, як, наприклад, компромісне рішення, що задовольняє різні сторони конфлікту. Ця та інші особливості теорії гри дозволяють викори-стовувати її методи для розв’язування різноманітних задач, що виникають в економічній науці та практиці. Дуже часто ці задачі допускають використання інших (неігрових) методів і моделей.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Зведення економічних колізій до ігрових задач» з дисципліни «Ризикологія в економіці та підприємстві»
