Кратко остановимся на определении резерва для еще одного вида личного страхования — индивидуального страхования пожизненной пенсии с единовременной 369
выплатой взноса. Динамика резерва для этого случая показана на рис 17.5. Обозначения на нем имеют следующее содержание: Рх — размер единовременного взноса, L — возраст выхода на пенсию, h — возраст, в котором исчерпываются средства на персональном счете застрахованного, со — предельный возраст. Резерв, накопления
х L /?о) Возраст Рис. 17.5 Весь период от возраста х до предельного возраста можно разделить на два временных отрезка. В первом, до начала выплат пенсии, происходит накопление резерва, во втором — накопление сопровождается расходованием средств. На начало страхования (сразу после взноса премии) резерв равен актуарной стоимости страховых выплат, которая в свою очередь равна величине единовременного взноса Рх. Если принять, что размер годовой пенсии равен R и она выплачивается в начале года, то ок*-4гж-дГЛ <17-24> Размер резерва в первом периоде (х + t < L) NL Л = -7Г*. (17.25) С увеличением возраста знаменатель уменьшается и соответственно растет резерв. Во втором периоде (х + t ъ L) динамика резерва иная. Она определяется как 370
Л - "J2* (17.26) Размеры резерва можно получить и последовательно. Для первого периода он определяется формулой (17.19). Во втором периоде, когда выплачиваются пенсии, получаем ,+Л = Л*Т--(1+0-Л (17.27) В свою очередь движение средств на персональном счете (S() на каждом шаге во времени рассчитывается в первом периоде как S,= Pxx(\+ /)', (17.28) а во втором как 5Ж = 5, х (1 + 0-Л (17.29) Важно отметить, что поскольку на персональном счете средств меньше, чем сумма резерва, то через некоторый отрезок времени (в возрасте h лет) они полностью исчерпываются (см. рис. 17.5). ПРИМЕР 17.11. Исходные данные: мужчина, х = 50, L = 60, Я = = 1000 , / = 9%. Размер единовременной премии (коммутационные функции из табл. 12 Приложения): Мет 3082,2 оЧю - Ъ - дг* = ТТЙГ1000 = 2740'2, Динамика средств на персональном счете и резерва характеризуется следующими данными.
x + t 50 55 60 65 00 2740 2740 4216 4579 6486 7919 4582 7120 1000 Полностью сумма на персональном счете будет исчерпана спустя 10 лет после начала выплат пенсии. Теоретическая нехватка средств на индивидуальном счете застрахованного компенсируется, как и в предыдущем примере, за счет действия принципа солидарности застрахованных. 371
Динамика резерва в рассматриваемом виде страхования различается по периодам. В первом, до начала выплаты пенсии, она описывается формулой (17.23). Что касается второго, то здесь искомая зависимость более сложная. Найдем соотношение двух последовательных показателей резерва:
V NН-1 Yx _ nx+t+\V ~~ П t у х ^JC+Z+I nx+t _ nx+t+\ "x+t "x+t 1x Px+t Таким образом, "x+t+\ f+l rx r x Nx+t x Px+t
(1 + 0.
(17.30)
Очевидно, что, если второй сомножитель в правой части равенства (17.30) меньше множителя наращения (1 +0» то резерв уменьшается с каждым шагом во времени. ПРИМЕР17.12. Продолжим пример 17.11. Найдем величину резерва для мужчины в возрасте 61 год, применив формулу (17.30): Чл 2693 11^50 = lo^so х Т; х 1.09 = 7919 х———ГТГГГ-х 1,09 = и 50 ю 50 Л/gQ х р61 3082 х 0,9692 = 7781, что меньше резерва для 60 лет (см. пример 17.10). Ничего принципиально не меняется, если взнос производится не разовым платежом, а в рассрочку. Пусть предусматривается пожизненная выплата пенсий и рассрочка взносов в течение к лет. Изменение резерва во времени изображено на рис. 17.6. Общий срок действия страхового полиса в этом случае можно разбить на три периода. В первом, в возрасте от х до х + к, осуществляются взносы и происходит ускоренное накопление, во втором, от х + к и до возраста L, сумма резерва увеличивается только за счет процентов, в третьем средства расходуются на выплату пенсий, причем на остаток средств начисляются проценты. В "финальном" возрасте со после выплаты пенсии резерв равен нулю. Аналогичное можно сказать и относительно динамики средств на персональном счете, кроме момента полного исчерпания средств, который происходит в возрасте (А < ш). 372
Резерв Р*
х x-i-fr L о Возраст Рис 17.6 Ограничимся случаем, когда пенсии и взносы выплачиваются раз в году пренумерандо и не учитывается дополнительный инвестиционный доход, выплата которого предусматривается в некоторых пенсионных фондах. Запишем в общем виде формулу величины резерва в момент х + г. где Ax¥t — современная стоимость пенсионных выплат, производимых после возраста х + /, ax^t — стоимость немедленного ограниченного страхового аннуитета пренумерандо в возрасте х + / лет, Рх — годовой размер премии, установленный в возрасте х лет. Формула (17.31), как видим, предполагает определение будущих (ожидаемых) поступлений. Ее результат представляет собой "чистые" обязательства страховщика перед участником в возрасте х + / лет. Подобный способ получил название прямой метод определения резерва. Определим резерв для случая, когда пенсия пожизненная, R = 1, нетто-премия равна Рх в расчете на денежную единицу пенсии, пенсия и премии выплачиваются пренумерандо. В этом случае для первого периода (/ < к) находим / К * n-t\dx ~ Рх х йх:Щ> <17-32) где п = L — х — временной интервал от х до L лет, ^^ах — стоимость отложенного пожизненного страхового аннуитета пренумерандо, dx.jzji — стоимость немедленного ограниченного аннуитета. 373
Величина Рх находится на основе принципа эквивалентности обязательств страховщика и страхователя. Если R = 1, то из равенства этих обязательств следует, что 0VX= 0 и нетто-пре-мия находится как соотношение двух страховых аннуитетов — отложенного пожизненного и немедленного ограниченного, а именно:
В свою очередь
/^ = -7^4 (17.33) йх:к]
NL . Ц-*и Л D ' ax:k] D х х Подставив в (17.32) приведенные формулы для страховых аннуитетов и нетто-премии, получим для первого периода у _ "L NL ^ *u~*U _ ^x+t Nx "" ^х+к ^x+t (17.34) ^L Л ^x+t ^х+к &x+t \ Nx Nx+k Для второго периода (к < t < п) находим "L ux+t Наконец, для третьего периода (t > n) получим NxH .V^-f-. (17.36) Приведенные выше методы расчета резерва, разумеется, не охватывают весь спектр возможных способов выплат премий и пенсий. Однако ничего принципиально не меняется, если скажем, вместо пенсий пренумерандо выплачиваются пенсии пост-нумерандо, а вместо годовых пенсий или взносов — ежемесячные, вместо пожизненных пенсий выплачиваются ограничен- 374
ные и т.д. Разумеется, в этих случаях несколько изменяется техника расчетов, общие принципы расчетов остаются без изменений.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Страхование пенсии» з дисципліни «Фінансова математика»
