Пенсионное страхование по существу представляет собой последовательно повторяемое страхование на дожитие. Пусть пенсия выплачивается с 60 лет. Тогда стоимость страхования разовой выплаты пенсии, равной 5, определяется стоимостью страхования на дожитие до 60 лет (см. (17.1)). Аналогично можно последовательно определить стоимость страхования на дожитие и до других возрастов. В итоге стоимость страхования составит: {ЕХ + 2ЕХ + ... + ^.^yEj где w — максимальный возраст, учитываемый в расчете. Проще, однако, воспользоваться страховыми аннуитетами, о которых речь шла в гл. 16. Необходимость в расчете нетто-тарифов (нетто-премий в ра-чете на 1 руб. установленной пенсии) возникает при использовании схемы, в которой за исходную принимается величина пенсии. Тариф может быть определен для единовременного взноса (покупка пенсии разовым платежом) или при условии, что премия выплачивается в рассрочку. Обсудим оба варианта, но только для пенсионных схем индивидуального страхования. Актуарные расчеты в групповом пенсионном страховании требуют более обширной информационной базы, расширенных таблиц смертности (где учитывается выход из состава группы участников в связи с увольнением и выходом на пенсию по инвалидности). 359
Единовременный взнос. Поскольку речь идет о разовом взносе, то нетто-тариф, очевидно, равен стоимости аннуитета, соответствующего условиям выплат пенсии, а нетто-премия — произведению нетто-тарифа на размер пенсии. Например, для годовых пенсий пренумерандо имеем Ех= Rxax= R-JT, (17.10) X где ах — стоимость немедленного годового аннуитета пренумерандо (см. (16.18)), R — размер годовой пенсии. В свою очередь для отложенной на п лет пенсии получим ^-Лх^-Л-^*-, (17.11) где ^ах — стоимость отложенного годового аннуитета пренумерандо (см. (16.20)). Таким же способом получим суммы единовременных взносов и для других условий выплаты пенсий. Формулы для расчета стоимости страховых аннуитетов приведены в табл. 16.3. ПРИМЕР 17.6. Необходимо определить единовременную нетто-премию, выплачиваемую при заключении страхового пенсионного контракта с мужчиной 40 лет. Размер годовой пенсии 1 тыс. руб., выплаты пренумерандо с 60 лет пожизненно. В этом случае имеем отложенный, пожизненный аннуитет пренумерандо. Норматив доходности равен 9%. Для приведенных данных получим N6o 3082,2 А ллосс 20|*<о - ц^ «-55J - 1'04855' 0ТКУда ^40 = 1 х 1.0*855 • 1,04855 тыс. руб. Если бы пенсия страховалась не пожизненно, а на срок 15 лет, то ее стоимость в момент выхода на пенсию составила (см. (16.22)): с л Neo - N75 3082,2 - 684,24 5,0 = 1 * "6015! = Б = 389J7 = 6'16173 ТЫС* РУ6" В свою очередь для страхователя 40 лет получим (см. (16.24)): 360
с л ^60 - ^75 3082,2 - 684,24 ло„с„ Е4о = 1 х 201*60:151 = —Q = ^^ = 0,81577 тыс. руб. Заметим, что чем выше процентная ставка (норматив доходности), тем ниже тариф страхования и оно более привлекательно для клиента. Однако при этом повышается риск для страховщика — он обязан обеспечить указанный уровень доходности аккумулируемых средств. Нетрудно найти и стоимость сберегательно-страховой пенсионной схемы. Пусть до пенсионного возраста применяется сберегательная схема, после — страховая. Если пенсия выплачивается с 60 лет, а единовременный взнос в х лет, то стоимость для пожизненной пенсии пренумерандо равна Ех = R х *<ю х v6°"x = Я-lf-v60-*. ПРИМЕР 17.7. Вернемся к примеру 17.6 (вариант с выплатой пенсий в течение 15 лет). Стоимость смешанной пенсионной схемы в возрасте 40 лет составит Е4о = 1 х "60:151 * v2° = 6,16173 х 1,09-20 - 1,099 тыс.руб. Размеры единовременных взносов (выплаты пенсий в течение 15 лет) для трех вариантов пенсионных схем приведены в следующей таблице. Таблица 17.1 Стоимости страхования по трем пенсионным схемам
Возраст застра- Пенсионные схемы хованного Сберегательная Страховая Смешанная 60 лет 40 лет 8061 1438 6162 816 6162 1099 Страховая схема оказывается более дешевой по сравнению со сберегательной, смешанная схема занимает промежуточное место по размеру единовременного взноса для сорокалетнего застрахованного. Однако, нельзя забывать, что страховые схемы не предусматривают наследования остатков средств на счете участника. Сберегательная схема, наоборот, предполагает это. Совместим три кривые, характеризующие динамику накопления для трех видов пенсионных схем (см. рис. 17.3). 361
8061 j /•6162\ 1438 1099 816 4 W 0 60 75 ^ Возраст 1 Рис. 17.3 Рассрочка взносов. В практике страхования премии часто выплачиваются в виде ряда последовательных платежей, иными словами, в рассрочку. При расчете нетто-тарифов с рассрочкой для описания взносов можно воспользоваться ограниченными (на период рассрочки) аннуитетами. С другой стороны, пенсии также представляют собой страховые аннуитеты. В силу эквивалентности финансовых обязательств обоих участников стоимости соответствующих аннуитетов должны быть равны друг другу. Например, в случае, когда один аннуитет (взносы) является немедленным, ограниченным, второй (Пенсии) — пожизненным, отсроченным, причем оба предусматривают ежегодные платежи постнумерандо, получим следующее равенство:
Pax.t] = R na*
(17.12)
где Р — годовая сумма взносов (нетто-премии), R — годовая сумма пенсии. Откуда D _ r nax _ D "x+n+\ Nx+{ /VJC+Z+I
ах-А
Z)
(17.13)
N. = R
х+я+1 ^YJC+1 WJC+/+I
Например, если первая выплата пенсии производится, допустим, в 60 лет (х + п + 1 = 60), возраст при заключении страхового контракта 40 лет, а рассрочка равна 10 годам, то 362
УУ60 p-RN _ N • /v4, /v5I Выражения, аналогичные (17.12), могут уравнивать стоимости различных видов аннуитета. Например, если оба аннуитета предусматривают годовые выплаты пренумерандо, то вместо (17.12) получим П *x:t] „a* N, p=Rf~ = RY^lT- (,7И) ax:t] 1Ух 1УхН ПРИМЕР 17.8. Определим размер премии для следующих условий. Сорокалетний мужчина вносит премию в течение 5 лет, пенсия годовая, пожизненная, в размере 10 тыс. руб. Оба потока платежей (премии и выплаты) пренумерандо. В этом случае на основе (17.14) получим
р = innnn 6° innnn 3082,2 10 000 х л. — 10 000 х ЛЛЛ__ Л ^ЛЛЛ^ , ^40 ~ ^45 30375,6 ~ 18086,4 = 2508,1 руб. Чем больше период рассрочки, тем, очевидно, меньше сумма взноса. Так, при рассрочке в 10 лет получим для тех же условий Чо 3082,2 Р = 10 000 х ——=77- = 10 000 х ~- NAO'NSO 30375,6 - 10465,3 = 1548,0 руб.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Страховые пенсионные схемы» з дисципліни «Фінансова математика»
