Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то он должен предпринять меры для обеспечения этого. При значительной сумме долга обычная мера заключается в создании погасительного фонда (sinking fund). Необходимость формирования такого фонда иногда оговаривается в договоре выдачи займа в качестве гарантии его погашения. Разумеется, создание фонда необязательно надо связывать с погашением долга. На практике возникает необходимость накопления средств и по другим причинам, например, для накопления амортизационных отчислений на закупку изношенного оборудования и т.п. Погасительный фонд создается из последовательных взносов должника (например, на специальный счет в банке), на которые начисляются проценты. Таким образом, должник имеет возможность последовательно инвестировать средства для погашения долга. Сумма взносов в фонд вместе с начисленными 185
процентами, накопленная в погасительном фонде к концу срока, должна быть равна его сумме. Взносы могут быть как постоянными, так и переменными во времени. Постоянные взносы в фонд. Как было сказано выше, задача разработки способа погашения долга, в том числе и в виде плана создания погасительного фонда, заключается в определении размеров срочных уплат и составляющих их элементов в зависимости от конкретных условий займа. Итак, пусть накопление производится путем регулярных ежегодных взносов Л, на которые начисляются сложные проценты по ставке /. Одновременно происходит выплата процентов за долг по ставке g. В этом случае срочная уплата составит r=Z)g+ R. (9.1) Обе составляющие срочной уплаты постоянны во времени. Как видим, первая определяется величиной долга и процентной ставкой по займу. Найдем вторую составляющую. Пусть фонд должен быть накоплен за N лет. Тогда соответствующие взносы образуют постоянную ренту с параметрами: R, N, L Допустим, что речь идет о ренте постнумерандо, тогда D где sN;i — коэффициент наращения постоянной ренты со сроком N. В целом срочная уплата находится как: Y=Dg + Y~. (9.2) SN;i Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то срочная уплата определяется следующим образом: (1 + Z)N Y= Dy *' . (9.3) SN;i ПРИМЕР 9.1. Долг в сумме 100 млн руб. выдан на 5 лет под 20% годовых. Для его погашения создается погасительный фонд. На инвестируемые в нем средства начисляются проценты по ставке 186
22%. Необходимо найти размеры срочных уплат. Пусть фонд формируется 5 лет, взносы производятся в конце каждого года равными суммами. Таким образом, имеем D = 100, п = N = 5, д = 20%, / = 22%. Находим s5;22 = 7,7395826 и, следовательно, 100 У = 100 х 0,2 + -гзгггггг = 20 + 12,92059 = 32,92687 млн руб. 7,7о9оо2о Пусть теперь условия контракта предусматривают присоединение процентов к основной сумме долга, тогда согласно (9.3) 100 х 1,25 Y= 7,735826 = 32,16618 млн руб. При создании погасительного фонда используются две процентные ставки — / и g. Первая определяет темп роста погасительного фонда, вторая — сумму выплачиваемых за заем процентов. Нетрудно догадаться, что рассматриваемый способ погашения долга — создание фонда — выгодна должнику только тогда, когда i > g, так как в этом случае должник на аккумулируемые в погасительном фонде средства получает больше процентов, чем сам выплачивает за заем. Чем больше разность / — g, тем, очевидно, больше экономия средств должника, направляемая на покрытие долга. В случае, когда / =g, преимущества создания фонда пропадают — финансовые результаты для должника оказываются такими же, как и при погашении долга частями (о чем речь пойдет ниже). Накопленные за / лет средства фонда определяются по знакомым нам формулам наращенных сумм постоянных рент или рекуррентно: 5ж«5,(1+/) + Л <9-4> ПРИМЕР 9.2. Продолжим пример 9.1 (срочные уплаты включают процентные платежи). Пусть средства в фонд вносятся только последние четыре года, остальные условия сохраняются. Тогда _ 100 100 4Q4M я=^=^^"=18'102млнруб- План формирования такого фонда (в тыс. руб.) представлен в таблице. 187
Год Проценты Взносы Расходы по займу Накопления (на конец срока)1 1 2 3 4 5 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 18 102 18 102 18 102 18 102 10 000 28 102 28 102 28 102 28 102 32 871 26 943 22 084 18 102 1 Сумма взноса с процентами на конец срока. 100 000 Формулы (9.2) и (9.3) получены для ежегодных взносов и начислений процентов. Если это не так, то применяются соответствующие методы расчета процентов и сумм взносов в фонд (см. следующий пример). ПРИМЕР 9.3. Внесем еще одно изменение в условия примера 9.1. Пусть взносы вносятся не ежегодно, а в конце каждого месяца, т.е. р = 12. Проценты выплачиваются кредитору ежегодно. Коэффициент наращения в этом случае равен s^fcM. 5.8). Годовая сумма взносов в фонд составит
R =
100 -(12) S5;22
100 8,49199
= 11,7758 млн руб.
Изменяющиеся взносы. Равные взносы в фонд — простое, но далеко не единственное решение проблемы накопления необходимой суммы денег. В зависимости от конкретных условий могут оказаться предпочтительными изменяющиеся во времени суммы взносов. В таких случаях следует воспользоваться результатами, полученными для переменных рент (см. гл. 6). Ограничимся примером, когда взносы в фонд следуют арифметической прогрессии. Срочные уплаты в рассматриваемых условиях изменяются во времени: Yt=Dg+Rr где Rt= R+ a(t- 1), / = 1,..., N. Разность прогрессии равна а, первый член — R. Последняя величина определяется следующим образом:
^J-i^a + o'-o + M) *N:i
(9.5)
188
ПРИМЕР 9.4. В фонд погашения долга средства поступают в виде ежегодной ренты постнумерандо в течение 5 лет (срок погашения долга). Платежи каждый раз увеличиваются на 500 тыс. руб. Пусть размер долга на момент его погашения равен 10 млн руб., на взносы начисляются проценты по ставке 10% годовых. Для разработки плана создания фонда определим величину первого взноса. Предварительно находим s5;10 = 6,2051;
Я =
1 6,1051
10000 - 500
1,15-(1 +5x0,1) 0,12
= 732,91 тыс. руб.
Откуда Я,= 731,91 +500U- 1); f= 1 Динамика расходов должника при условии, что кредитору выплачивается 9,5%, показана в таблице. В ней, в отличие от таблицы примера 9.2, в последней графе показаны суммарные (кумулятивные) накопления, которые определены по рекуррентной формуле (9.4).
Год Проценты Взносы Расходы по займу Накопления на конец года 1 950 732,91 1682,91 732,91 2 950 1232,91 2182,91 2039,11 3 950 1732,91 2682,91 3975,93 4 950 2232,91 3182,91 6606,44 5 950 2732,91 3682,91 10000,00 Если взносы в данном примере представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, допустим а = -500, то первый взнос составит
Я =
1 6,1051
10000 + 500
1,15-(1 +5x0,1) 0,01
= 2543,04 тыс. руб
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Создание погасительного фонда» з дисципліни «Фінансова математика»
