Определим теперь что дает диверсификация для уменьшения риска и выявим условия, когда эта цель достигается. В качестве объекта анализа примем некоторый абстрактный портфель ценных бумаг (далее для краткости — портфель). Такой выбор объясняется методологическими преимуществами — в этом случае проще выявить зависимости между основными переменными. Однако многие из полученных результатов без большой натяжки можно распространить и на производственные инвестиции. В предыдущем параграфе отмечалось, что в качестве измерителя риска в долгосрочных финансовых операциях широко распространена такая мера, как дисперсия дохода во времени. Диверсификация портфеля при правильном ее применении приводит к уменьшению этой дисперсии при всех прочих равных условиях. Диверсификация базируется на простой гипотезе. Если каждая компонента портфеля (в рассматриваемой задаче — вид ценной бумаги) характеризуется некоторой дисперсией дохода, то доход от портфеля имеет дисперсию, определяемую его составом. Таким образом, изменяя состав портфеля, можно менять суммарную дисперсию дохода, а в некоторых случаях свести ее к минимуму. Итак, пусть имеется портфель из п видов ценных бумаг. Доход от одной бумаги вида / составляет величину dr Суммарный доход (А), очевидно, равен A = 2a.di9 (8.1) где ai — количество бумаг вида /. Если di представляет собой средний доход от бумаги вида /, то величина А характеризует средний доход от портфеля бумаг в целом. Для начала положим, что показатели доходов различных видов бумаг являются статистически независимыми величинами (иначе говоря, не коррелируют между собой). Дисперсия дохода портфеля (обозначим ее как D) в этом случае находится как Я-£*?А. (8.2) /-1 171
где D. — дисперсия дохода от бумаги вида /, п — количество видов ценных бумаг. Для упрощения, которое нисколько не повлияет на результаты дальнейших рассуждений, перейдем от абсолютного измерения количества ценных бумаг к относительному. Пусть теперь а. характеризует долю в портфеле бумаги вида /, т.е. О < а. < 1, 21а. = 1. Для зависимых в статистическом смысле показателей дохода отдельных бумаг дисперсию суммарного дохода находим следующим образом:
D " % atDi + 2 2 aiaJrU°i°J>
(8.3)
где Df — дисперсия дохода от бумаги вида /, rfJ — коэффициент корреляции дохода от бумаг вида / и у, ау ис^.- среднее квад-ратическое отклонение дохода у бумаг вида / и у. Коэффициент корреляции двух случайных переменных х и у, как известно, определяется по формуле1
г*у =
%(х-х)(у- у) пахоу
(8.4)
где х, у — средние (в нашем случае средние доходы двух видов бумаг). Для расчетов часто применяется следующая рабочая формула: ПУ*У-У*УУ 'ху 2*ЧХ*Пк>Ч5>) Поскольку коэффициент корреляции может быть как положительной, так и отрицательной величиной, то, как это вытекает из (8.3), при положительной корреляции дисперсия суммарно- 1 Напомним следующие свойства коэффициента корреляции: — коэффициент не имеет размерности, следовательно, он сопоставим для разных рядов данных; — величина гху лежит в пределах от -1 до +1. Значение гху = +1 говорит о том, что между переменными существует полная положительная корреляция, т. е. наблюдается функциональная линейная зависимость — с увеличением х линейно растет у. При гху = -1 наблюдается отрицательная линейная зависимость. 172
го дохода увеличивается, при отрицательной она сокращается. В самом деле, при заметной отрицательной корреляции положительные отклонения от среднего дохода одних бумаг погашаются отрицательными отклонениями у других. И наоборот, при положительной корреляции отклонения суммируются, что увеличивает общую дисперсию и риск. Проследим теперь, каково влияние масштаба диверсификации на размер риска. Под масштабом диверсификации здесь будем понимать количество объектов, выбранных для инвестиции (количество видов ценных бумаг). Обратимся к условному примеру, который позволяет наиболее отчетливо выделить влияние указанного фактора. Итак, пусть портфель состоит из бумаг различного вида, но имеющих одинаковую дисперсию дохода (о^). Удельные веса в портфеле каждого вида бумаг также одинаковы, а общая сумма вложений равна 1. Положим, что показатели доходности у отдельных видов бумаг статистически независимы, т.е. применима формула (8.2). В этих условиях для оценки величины среднего квадратического отклонения дохода портфеля получим п °' где п — количество видов ценных бумаг. Воспользуемся приведенной формулой и определим дисперсию дохода для портфеля, состоящего из двух и трех видов бумаг. Так, для двух бумаг имеем D - 2°о и а"^2°° "°'71а°- Для трех видов бумаг квадратическое отклонение портфеля составит 0,58а0. Таким образом, с увеличением числа составляющих портфеля риск уменьшается даже при одинаковой дисперсии составляющих элементов. Однако прирост действенности диверсификации уменьшается. Соответствующая зависимость изображена на рис. 8.2. Как видим, наибольшее влияние увеличение масштабов диверсификации оказывает на начальных стадиях, т.е. при малых значениях я. Например, в рамках рассмотренного примера переход от одного вида бумаг к четырем сокращает квадратическое отклонение на 50%, а от одного к восьми — на 65%. 173
Рис. 8.2 Полученные выше выводы в отношении тенденции изменения среднего квадратического отклонения в зависимости от числа составляющих при условии, когда дисперсии составляющих одинаковы, очевидно, справедливы и для более общих случаев. Однако, зависимость этих параметров от степени диверсификации проявляется здесь не столь четко. Посмотрим теперь, как изменяются доход и величина риска при изменении структуры портфеля. Для этого вернемся к формулам (8.2) и (8.3) и запишем их только для двух видов бумаг (X и Y). Такой анализ вряд ли имеет практическое значение. Однако с его помощью наглядно демонстрируются последствия "смешения" ценных бумаг с различными доходностью и дисперсией. Для независимых доходов получим D = a2D' + a2Dv, (8.5) и для зависимых доходов D= сРо2 + а2 о2 + 2а а г о о . (8.6) ** хх У У х У *У х У v"-v/ Причем ау = 1 — ах. В этом случае среднее значение суммарного дохода определяется как Л = axdx + (1 - ax)dy. (8.7) Пусть dy > dx и оу > ох. Очевидно, что в силу этих условий рост доли бумаг второго вида увеличивает доходность портфеля. Так, на основе (8.7) получим Л = dy + (dy - dx)ay. (8.8) Что касается дисперсии дохода портфеля, то, как это следует из (8.6), положение не столь однозначно и зависит от знака 174
и степени корреляции. В связи с этим подробно рассмотрим три ситуации: полная положительная корреляция доходов (г = = +1), полная отрицательная корреляция (г = -1), независимость доходов или нулевая корреляция (г = 0). В первом случае увеличение дохода за счет включения в портфель бумаги вида У помимо X сопровождается ростом как дохода, так и дисперсии. Для портфеля, содержащего оба вида бумаг, квадратическое отклонение находится в пределах ох < о < о (см. рис. 8.3, где точка X означает портфель, состоящий только из бумаг вида Л, а К— портфель из бумаг вида Y). Для частного случая, когда ох = оу = а, получим по формуле (8.6) D = а2. Иначе говоря, при полной положительной корреляции "смешение" инвестиций не окажет никакого влияния на величину дисперсии. При полной отрицательной корреляции доходов динамика квадратического отклонения доходов от портфеля более сложная. По мере движения от точки Л" к точке К эта величина сначала сокращается и доходит до нуля в точке В, затем растет (см. рис. 8.4). Следует обратить внимание на то, что при движении от Л" до В рост дохода сопровождается уменьшением риска (квадратического отклонения). В последней из рассматриваемых ситуаций квадратическое отклонение при увеличении доли бумаги К проходит точку минимума, равного ат, далее оно растет до оу (см. рис. 8.5). (Проблема определения состава портфеля, при котором достигается минимум дисперсии, обсуждается в следующем параграфе.) Совместим теперь все три графика на одном (см. рис. 8.6.) Как видим, все возможные варианты зависимости "доход— С КО" находятся в треугольнике XBY.
Рис. 8.3
Рис. 8.4
175
о О от ох оу "О от ох оу Рис. 8.5 Рис. 8.6 Из сказанного непосредственно следует, что эффективность диверсификации (в отношении сокращения риска) наблюдается только при отрицательной или, в крайнем случае, нулевой корреляции. ПРИМЕР 8.1. Портфель должен состоять из двух видов бумаг, параметры которых: dx = 2; ох = 0,8; d = 3; о = 1,1. Доход от портфеля: А = 2ах + Зау. Таким образом, доход в зависимости от величины долей находится в пределах 2 < А < 3. Дисперсия суммы дохода составит: D = а^0,82 + а*1,12 + a^r^O.8 x 1,1. Определим доход и дисперсию для портфеля с долями, равными, допустим, 0,3 и 0,7. Получим по формулам (8.6) и (8.7): D = 0,651 + 0,37/-^ и А = 2,7. Таким образом, при полной положительной корреляции D = 1,021, при полной отрицательной корреляции D = 0,281. В итоге с вероятностью 95% можно утверждать, что суммарный доход находится в первом случае в пределах 2,7 ± 2 х ^|^t02^ « 2,7 ± 2,02; во втором — он определяется пределами 2,7 ± 2 х д/о,281 * 2,7 ± 1,06. При нулевой корреляции доходов искомые пределы составят 2,7 ± 2^/0,651 * 2,7 ± 1,64. Продолжим анализ с двумя бумагами и проследим, как влияет включение в портфель безрисковой (risk free) инвестиции1. 1 В странах со стабильной экономикой безрисковой обычно считается ценная бумага, выпущенная государственным казначейством. 176
Для этого заменим в портфеле бумагу К с параметрами dy9 oy на бумагу с такой же доходностью, но с нулевой дисперсией. Доходность портфеля от такой замены, разумеется, не изменится. Что же касается дисперсии, то она теперь составит: 0=0*0*. X X Дисперсия дохода портфеля теперь зависит от удельного веса безрисковой составляющей, так как Таким образом, "разбавление" портфеля безрисковой бумагой снижает риск портфеля в целом, а квадратическое отклонение дохода портфеля определяется убывающей линейной функцией доли безрисковой бумаги. Если dx > dy (в противном случае проблема выбора портфеля отпадает — он должен состоять только из безрисковых бумаг), то доход от портфеля по мере увеличения доли безрисковой бумаги уменьшается от dx до d, a величина квадратического отклонения сокращается от ох до О (см. рис. 8.7). И наоборот, рост доли рисковой бумаги увеличивает как риск, так и доход.
А, а dx О 1 ау Рис. 8.7 Последнее утверждение для портфеля, состоящего из двух видов бумаг, иллюстрируется уравнением (8.10), которое получено преобразованием (8.7): Л = ^+К~4Х- (8Л0) В свою очередь на основе (8.9) находим 177
В итоге получим интересное соотношение d - d А = d+— Lo. (8.11) У °х Дробь в приведенном выражении иногда называют рыночной ценой риска. Если эта величина равна, скажем, 0,5, то при росте квадратического отклонения на 1% доход увеличится на 0,5%.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода» з дисципліни «Фінансова математика»
