Линейная модель во многих случаях дает практически приемлемое описание ситуации. Однако могут иметь место ситуации, когда процесс формирования затрат и/или стоимости продукции более адекватно описывается нелинейными функциями и имеются достаточно надежные данные для получения соответствующих кривых. Вид и параметры таких кривых могут быть установлены, например, в ходе статистического анализа или их можно задать экспертно. Барьерный выпуск продукции. Вернемся к задаче по определению критического объема продукции, но в условиях, когда одна или обе "конкурирующих" функции являются нелинейными. Ограничимся двумя из возможных постановок задачи. Пусть для начала стоимость продукции — линейная функция выпуска, а затраты на производство описываются нелинейной, монотонно растущей функцией. Иначе говоря, предполагается, что удельные затраты сокращаются по мере роста масштабов производства, а цена единицы продукции не изменяется. Такое сочетание затрат и стоимости продукции представлено на рис. 7.3.
Рис, 7,3 Задача, как и выше, заключается в определении барьерного уровня выпуска продукции. Стоимость продукции находится по формуле (7.1), а сумма переменных затрат описывается, допустим, степенной функцией cQh, причем 0 < А < 1. В этом случае общая сумма затрат составит 153
5= F+ cQh Разность "конкурирующих" функций в барьерной точке равна нулю: pQk~cQ\- F=0. Решение, как видим, сводится к нахождению корня этого уравнения.
ПРИМЕР 7.2. Исходные данные: F Соответственно имеем = 100, p = 50, с = 40, h = 0,5. 50Qk - 40Q°'5 - - 100 = 0. Найдем корни этого уравнения. квадратное, положив О = z2. После Для чего этого преобразуем получим его в *«-■ 50z2 - 40z - 100 = = 0, -(-40)±^40)2 27 -4х! 50 50 х(- -юо) Положительный = 1,862 = 3,46. корень равен 1,86. Таким образом, °*= Перейдем к сочетанию двух нелинейных зависимостей. Например, пусть обе функции являются параболами второй степени (см. рис. 7.4). Тогда V= aQ2 + bQ, S=cQ2 + dQ +F, где a, b, c, d — параметры парабол. Прибыль в зависимости от уровня выпуска составит Р = {а - c)Q2 + {b-d)Q- F (7.5) Барьерный объем выпуска находится как корень квадратного уравнения (a-c)Q2k + (b-d)Qk-F=0. 154
v, s F
Ok 0 Рис. 7.4 Добавим, что при некоторых условиях можно рассчитать объем выпуска, максимизирующего размер прибыли (обозначим его как Qm). Для этого, как известно, достаточно найти производную функции прибыли и приравнять ее нулю. В случае, когда прибыль описывается выражением (7.S), находим G»-T^T- <7-6> Как видим, положение точки максимума полностью определяется параметрами соответствующих парабол. Причем необходимым условием существования максимума являются следующие соотношения: d>b, a>c . Если же b>d и а>с, то прибыль монотонно растет вместе с увеличением выпуска. Нелинейную модель можно представить и в неформализованном виде — как таблицу данных, характеризующих затраты и стоимость продукции в зависимости от размера выпуска (см. пример 7.3). ПРИМЕР 7.3. В приведенной ниже таблице и на диаграмме содержатся данные о затратах, стоимости продукции и ожидаемой прибыли.
о F с Р S V Р 0 100 — — 100 — — 5 100 30 50 250 250 0 10 100 27 50 370 500 130 15 100 22 45 430 675 145 20 100 20 40 500 800 300 25 100 20 30 600 750 150 155
V, S, P
800 700- 600- 500- 400 300- 200 100- 0 Рис, 7,5 Наибольшая прибыль, как видим, приходится на выпуск, равный 20.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Нелинейные модели» з дисципліни «Фінансова математика»
