Во всех рассмотренных выше рентах предполагалось, что члены потока платежей поступают дискретно — через фиксированные интервалы времени (периоды ренты). Вместе с тем иногда более адекватное описание потока платежей достигается, когда он воспринимается как непрерывный процесс. Например, когда отдача от инвестиций происходит так часто, что в целом этот поток можно рассматривать как непрерывный. Предположение о непрерывности в определенных условиях увеличивает возможности количественного анализа, особенно при анализе сложных производственных долгосрочных инвестиций. Обсудим методы расчета наращенной суммы и современной стоимости, а также некоторых параметров, характеризующих постоянную непрерывную ренту, при условии, что применяется годовая дискретная процентная ставка. По определению у непрерывной ренты р -* ». Найдем коэффициент приведения такой ренты, обозначим его как ап.г Для этого необходимо найти предел коэффициента приведения /ьсрочной ренты при р —* »: а „., = lim а^\ = lim f/l , ч|/я — Непосредственная подстановка р = » в знаменатель приводит к неопределенности: 132
1 оо [(1 + /)■/•- I]' Раскроем неопределенность, применив правило Лопиталя. Получим г~*р[(\ + l)i/p- 1] 1п(1 + /)' Таким образом, 1 - (1 + /Г" *«- |П(1,9 ■ <«°> Аналогичным путем получим коэффициент наращения непрерывной ренты (1 + 0я - 1 '*" и1 + о ' (62,) Очевидно, что переход от дискретных платежей постнуме-рандо к непрерывным увеличивает коэффициенты приведения и наращения в / / 1п(1 +0 раз. Таким образом, i # "л;/ " 1п(1 + 0 *w;/' *«* " 1п(1 + 0 *я;/ ■ ПРИМЕР 6.5. Ожидается, что доходы от эксплуатации месторождения полезных ископаемых составят 1 млрд руб. в год, продолжительность разработки 10 лет, отгрузка и реализация продукции непрерывны и равномерны. Капитализированная стоимость дохода при дисконтировании по ставке 10% составит: 1 - 1,1-м А = 1000—гт-j— = 6446,91 млн руб. Заметим, что формулы (6.20), (6.21) предполагают непрерывное поступление платежей и дискретное начисление процентов. Вероятно, более "естественным" является положение, когда оба процесса (поступление денег и наращение процентов) непрерывны. Для получения формул соответствующих коэффициентов воспользуемся формулами эквивалентности между непрерывными и дискретными ставками: 6 = 1п(1 + /); / = еь — 1, где, 133
напомним, 6 — сила роста. Перепишем формулы (6.20) и (6.21), использовав эти соотношения. Получим: 1 - е-ъп *** = ——' <6-22> ^=—т~- (623) Заметим, что формулы (6.20), (6.21) и (6.22), (6.23) дают одинаковые результаты только в том случае, когда непрерывные и дискретные ставки являются эквивалентными (см. § 4.2). В табл. 5 и 8 Приложения содержатся значения коэффициентов наращения и приведения непрерывной ренты. ПРИМЕР 6.6. Пусть в примере 6.5 дисконтирование осуществляется по силе роста 10%, тогда
~оТ А = Rdn,b = 100° ~< = 6321,21 млн руб.
Эквивалентная дискретной ставке 10% (которая была применена в примере 6.5) сила роста составит 6 = 1п1,1 = 0,09531, или 9,531%. Откуда А = 1000 51)9531 = 6446'91 млн руб- Формулы (6.22) и (6.23) можно получить и с помощью интегрирования. Например, коэффициент приведения находим следующим образом:
о
I 6 ,-6х/^ ' л-6х/
\-е
-6х/|
Остановимся теперь на одном частном, но практически важном вопросе. Определим величину коэффициента наращения непрерывной ренты для одного годового интервала времени. Обозначим коэффициент наращения р-срочной ренты для этого интервала как 1{. Его предел при р -* » составит S{ 1п(1 + /)' 134
Разложим эту функцию в степенной ряд, ограничившись первыми тремя членами: 1 1 , *,-i + 7''-7T/2- Близкий к этому результат дают и первые три члена разложения бинома: (1 +/)'/>= l+i-z-i-Я. В итоге имеем f, - (1 + /)"/2. Аналогично находим коэффициент приведения непрерывной ренты за годовой период: ах ~ (1 4- /)-'/2. Иначе говоря, равномерная и непрерывная выплата годовой суммы Р примерно равнозначна разовой выплате этой суммы в середине года,
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Постоянная непрерывная рента» з дисципліни «Фінансова математика»
