Общая постановка задачи изменения условий контракта
Обсудим теперь общие случаи изменения условий выплат, предусматриваемых в контрактах, для которых решение нельзя получить простым суммированием приведенных на некоторую дату платежей. Разумеется, и в таких случаях решение основывается на принципе эквивалентности платежей до и после изменения условий. Метод решения заключается в разработке соответствующего уравнения эквивалентности. Если приведение платежей осуществляется на некоторую начальную дату, то получим следующие уравнения эквивалентности в общем виде: 2&(1 + rijt) = 2^(1 + пк1) — при использовании простых процентов, Е ^Jv J " Е ^куПк ~" ПРИ использовании сложных процен- J тов. Здесь S. и л. — параметры заменяемых платежей, Sk и пк — параметры заменяющих платежей. Конкретный вид равенства определяется содержанием контрактов, поэтому методику разработки уравнений эквивалентно- 79
сти удобнее показать на примерах. Для этого рассмотрим три примера. В двух первых для дисконтирования применяются простые ставки, в последнем — сложные. ПРИМЕР 4.14. Две суммы 10 и 5 млн руб. должны быть выплачены 1 ноября и 1 января следующего года. Стороны согласились пересмотреть порядок выплат: должник 1 декабря выплачивает 6 млн руб. Остаток долга гасится 1 марта. Необходимо найти сумму остатка при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов, равной 20% (К = 365). Графическое изображение условий задачи приведено на рис. 4.3. 10 6 5 S = ? Т ▼ V 1 н 1 д 1 я 1м Рис. 4.3 Возьмем за базовую дату, допустим, момент выплаты 5 млн руб. Уравнение эквивалентности в этом случае выглядит следующим образом: 10(1+-ik°'2) + 5=6(1+ ^°-2)+S(1 + -й-0-2)"1- Находим S = 9,531 млн руб. Заметим, что изменение базовых дат приводит к некоторым, впрочем незначительным, смещениям результатов. Например, при приведении платежей к 1 марта получим следующее уравнение эквивалентности: 120 59 90 10(1 + ^°'2) + 5(1 + ^-°'2> = 6(1 + ^°»2> + S' Теперь S = 9,523 млн руб. ПРИМЕР 4.15. Имеется обязательство уплатить 10 млн руб. через 4 месяца и 7 млн руб. через 8 месяцев после некоторой даты. По новому обязательству необходимо выплату произвести равными суммами через 3 и 9 месяцев. Изменение условий осуществляется с использованием простой ставки, равной 10% {К = 360). Примем в качестве базовой даты начало отсчета времени. Уравнение эквивалентности в этом случае записывается следующим образом: 80
10(1 + 4/12 х 0,1)4 + 7(1 + 8/12 х 0.1)"1 = = S(1 + 3/12 x O.D"1 + S(1 + 9/12 x 0,1 Г1. Следовательно, S = 8,521 млн руб. Перейдем к примеру с применением сложной процентной ставки. ПРИМЕР 4.16. Существует обязательство уплатить 100 тыс. руб. через 5 лет. Стороны согласились изменить условия погашения долга следующим образом: через два года выплачивается 30 тыс., а оставшийся долг — спустя 4 года после первой выплаты (см. рис .4.4). Необходимо определить сумму последнего платежа. 30 100 S = ? Y У V 0 2 5 6 Рис. 4.4 Уравнение эквивалентности составим на начало отсчета времени: 100v5 = 30v2 + Sve, где v — дисконтный множитель. Аналогичное по смыслу равенство можно составить на любую дату, например на конец шестого года. В этом случае 100(1 + I) = 30(1 + /)4 + S. Данное уравнение легко получить из предыдущего, умножив его на (1 + /)6. При решении любого из приведенных уравнений относительно S находим (при условии, что ставка равна 10% годовых) S = 133,233 тыс.руб. Выбор базовой даты при применении сложных процентов не влияет на результаты расчетов по замене платежей. 81
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Общая постановка задачи изменения условий контракта» з дисципліни «Фінансова математика»
