Наращение процентов т раз в году. Номинальная и эффективная ставки
Номинальная ставка. В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году — по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерче- 49
ские банки практикуют даже ежедневное начисление процентов. При начислении процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой (3.1). Параметр п в этих условиях будет означать число периодов начисления, а под ставкой / следует понимать ставку за соответствующий период. Например, при поквартальном начислении процентов за 5 лет общее число периодов начисления составит 5 х 4 = 20. Множитель наращения по квартальной (сложной) ставке 8% равен в этом случае 1,0820 = 4,6609. На практике, как правило, в контрактах обычно фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка, одновременно указывается период начисления процентов. Например, "18% годовых с поквартальным начислением" процентов. Итак, пусть годовая ставка равна у, число периодов начисления в году — /и. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку у называют номинальной (nominal rate). Формулу наращения теперь можно представить следующим образом: S=p(l+AN, (3.7) где N — общее количество периодов начисления. Если N целое число (N = л/и), то в большинстве случаев для определения величины множителя наращения можно воспользоваться таблицей сложных процентов (табл. 2 Приложения). Например, при у = 20% и поквартальном начислении процентов (т = 4) в течение 5 лет отыскиваем табличное значение множителя для / = 20/4 = 5% и п = 5 х 4 = 20; находим q = 2,653298. ПРИМЕР 3.6. Изменим одно условие в примере 3.1. Пусть теперь проценты начисляются не раз в году, а поквартально. В этом случае N = 20 и S = 1 000 000| 1 + °'^55|20 = 2139049,01 руб. Напомним, что при ежегодном начислении процентов мы получили S = 2055464,22. Нетрудно догадаться, что чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс). Для иллюстрации сказанного приведем значения множителей для J = 20% и п = 10 лет и разной частоте наращения в пределах года: 50
т 1 2 4 12 365 Я 6,1917 6,7275 7,04 7,2682 7,385 Как следует из приведенных данных, наибольшую "прибавку" в наращении дает переход от ежегодного начисления процентов к полугодовому, наименьший эффект — переход от ежемесячного к ежедневному. ПРИМЕР 3.7. Какова сумма долга через 25 месяцев, если его первоначальная величина 500 тыс.руб., проценты сложные, ставка 20% годовых, начисление поквартальное? По условиям задачи число периодов начисления Л/ = 25 : 3 = = 8 1/3. Применим два метода наращения — общий и смешанный (см. (3.6)). Получим 8! S « 500 OOof 1 + ^р] 3 - 75084ft04 руб., S = 500 000И + -^-)8 х И + у х -^-] = 751039,85 руб. Эффективная ставка. Введем теперь новое понятие — действительная, или эффективная ставка процента (effective rate). Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка — это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m. Обозначим эффективную ставку через /. По определению множители наращения по двум ставкам (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу: Из равенства множителей наращения следует «-(l +£)"-!. (3-8) Эффективная ставка при т > 1 больше номинальной. Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку / не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквива- 51
лентны в финансовом отношении. Отсюда, кстати, следует, что разные по величине номинальные ставки оказываются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки имеют одну величину. ПРИМЕР 3.8. Каков размер эффективной ставки, если номинальная ставка равна 25% при помесячном начислении процентов? Имеем ,-^+^.j»., =0.280732. Для участвующих в сделке сторон безразлично применить ставку 25% при помесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 28,0732%. Для сокращения дальнейшей записи используем символ /т\ означающий размер номинальной ставки и количество начислений за год. Эквивалентная замена номинальной ставки имеет место только в том случае, когда удовлетворяется равенство
1 +
А щ
т,
т2 1+4—
Поскольку т может иметь только целые значения, то удобнее определять значение новой ставки, задаваясь величиной т?
/О" г) ■>■>
т2
mi 1+4- щ
-1
ПРИМЕР 3.9. Определим номинальную ставку /4>, которая безубыточно заменит ставку/12' = 25% в примере 3.8. Получим 12
У<4» - 4
К£)4-
0,25524.
52
Таким образом, сокращение количества начислений потребует увеличения ставки с 25 до 25, 524 %.
При подготовке контрактов может возникнуть необходимость в определении у по заданным значениям / и т. Находим у «/w(wVT77-l). (3.9)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Наращение процентов т раз в году. Номинальная и эффективная ставки» з дисципліни «Фінансова математика»
