Во всех конденсированных средах, в том числе и в кристаллах, имеет место пространственная дисперсия: вектор электрической поляризации Р (г, /) определяется не только значением вектора напряженности электрического поля Е в той же точке г, но и значениями [его в окрестности этой точки. Если бы электрическое поле было однородно, значения его в окрестности точки г были бы такими же, как и в самой точке г, и пространственная дисперсия никак не проявлялась бы. Поэтому пространственную дисперсию можно, трактовать как зависимость вектора электрической поляризации Р не только от самого вектора £, но и от его пространственных производных. Ограничиваясь первыми членами разложения, получим д^ :-^. (81.1) В кристаллах, у которых тензор (i отличен от нуля, проявляется пространственная дисперсия первого порядка; такие кристаллы называются оптически активными. В остальных возможна лишь пространственная дисперсия второго порядка: поляризация в них зависит не от первых, а только от вторых пространственных производных напряженности. Мы ограничимся рассмотрением оптической активности (о влиянии пространственной дисперсии второго порядка на оптические свойства кристаллов см. Агранович и Гинзбург, 1979). В кристаллооптике удобнее рассматривать зависимость напряженности электрического поля Е от электрической индукции D; тогда вместо (81.1) запишем dDf ЬО ^ E D+:^r. (81.2) Так как для монохроматической волны с волновым вектором k производная dD/dr = iDk, формула (81.2) для нее принимает вид Ef = ®,i + iyfimkm)Dh E = D + iy.k)-D. (81.3) Выражение в скобках играет роль несколько измененного тензора диэлектрической непроницаемости. Таким образом, пространственная дисперсия приводит к зависимости тензора диэлектрической непроницаемости от волнового вектора, подобно тому как обычная, т. е. временная, или частотная, дисперсия приводит к зависимости § 81] ОПТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ 519 этого тензора от частоты. Формула (81.3) показывает, что добавка к тензору диэлектрической непроницаемости, линейно зависящая от волнового вектора, оказывается чисто мнимой. Поскольку волновой вектор k обратно пропорционален длине волны X (действительно, k = Bп/Х) т, где т — единичный вектор волновой нормали), эта добавка тоже обратно пропорциональна X. Но так как единственная характеристика бесконечного кристалла, имеющая размерность длины, — это размер элементарной ячейки а, ясно, что порядок этой добавки а/Х. При тех частотах, при которых кристалл прозрачен, тензор диэлектрической непроницаемости г\ эрмитов, т. е. его вещественная часть симметрична, а мнимая антисимметрична (см. Ландау и Лифшиц, 1957, § 76, формула G6.4), и Агранович и Гинзбург, 1979, § 1, формула A.21)). Отсюда следует, что тензор у антисимметричен по первым двум индексам: Упт = — Уцт> (81.4) т. е. его внутренняя симметрия {У2} У. Соотношение дуальности {V2}V~ eV2 (81.5) позволяет ввести псевдотензор гирации G, дуальный тензору у с точностью до скалярного множителя Х/Bп): y £ (81.6) После этого соотношение (81.3) записывается в форме m. (81.7) Выясним, какие плоские волны могут распространяться в среде, характеризуемой материальным уравнением (81.7). Для этого введем правую систему координат, ось Х3 которой направлена по вектору волновой нормали т, а оси Х1 и Х2 совпадают с главными осями центрального сечения оптической индикатрисы кристалла плоскостью волнового фронта: Хг — с большей главной осью, а Х2 — с меньшей. В этой системе координат первые два уравнения (81.7) принимают вид В избранной системе координат D3 = 0 и гI2 = 0, а г)п = п^ и Л22 = пш\ здесь по1 и /го2 — показатели преломления волн, которые распространялись бы в данном направлении, если бы не было пространственной дисперсии, причем п01 ^ /г02. Как известно, из уравнений Максвелла для плоской электромагнитной волны следует, что Е — тт E = n~2D (81.9) 620 ЭФФЕКТЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ IX (см. § 34). В нашей системе координат это означает, что Ег = rr2Dx и Е2 = iT2D2. Пользуясь этим, исключим Ег и Е2 из уравнений (81.8): (nof-n-m + KbD.-O Полученная система двух однородных линейных уравнений относительно компонент вектора индукции обладает нетривиальным решением лишь при условии равенства нулю ее определителя: («of - л-2) (яй - «-2) - G§3 = 0. (81.11) Рассмотрим величину Р = -jg- [УШ - notJ +BG33J - (пй - я of)] • (81.12) Из введенного ранее условия и01 Зг я02 следует неравенство | р I «S 1, знак же р совпадает со знаком G^. Легко проверить, что решения квадратного уравнения (81.11) имеют вид „72 = nof-pG (81ЛЗ) Так как |G33|<<1, а я01 и /г02 —числа порядка единицы, показатели преломления пх и /г2 с достаточной точностью равны tti=ttoi + yrtoipG33, ! (81.14) Подставив в систему (81.10) решения /гГ2 и /гг2 из (81.13), найдем отношения компонент векторов индукции D{1) и D{2) для волн, распространяющихся со скоростями clnx и с/п2 соответственно ПA) П<2) -gir = -gr = ip. (81.15) Общий вид векторов Z)A) и Dl2), удовлетворяющих соотношениям (81.15): D^ =DW (е + 19е)ехр[1(к^хЫ + ц>^)] ( ' ' где D{a) ехр Aф(а)) — комплексная амплитуда, kSa) = a>njc (a = 1, 2). Векторы электрической индукции — вещественные части этих комплексных векторов: cos (№% - a>t + ф*1') - pe2 sin (81.17) § 81] ОПТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ 521 В любой фиксированной точке пространства концы векторов индукции, определенных этими равенствами, за время Т = 2я/ео описывают эллипсы, лежащие в плоскости волнового фронта х3 = = const. Действительно, равенства (81.17) можно записать соответственно в виде l ' где\|)(а) = k{a)x{i + ф1а). Формулы (81.18) —параметрические уравнения эллипсов с отношением малой оси к большой, равным |р| (это отношение принято называть эллиптичностью). В табл. 81.1 Таблица 81.1 Поляризация световых волн при различных значениях параметра р (вторая волна распространяется быстрее, чем первая (п2 Озз < О -1<р <0 О <р показаны эллипсы, описываемые концами векторов Re/)A) и Re Z)B). Таким образом, обе электромагнитные волны, распространяющиеся в оптически активном кристалле в направлении, в котором нормальная составляющая псевдотензора гирации отлична от нуля, эллиптически поляризованы; их эллипсы поляризации имеют одинаковое отношение осей, но повернуты один относительно другого на 90° и обходятся в противоположных направлениях. Эллиптическая поляризация называется правой, если с точки зрения наблюдателя, который смотрит навстречу свету, вектор D 522 ЭФФЕКТЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IX поворачивается по часовой стрелке, и левой — в противном случае *); табл. 81.1 показывает, что при G33 > 0 волна, распространяющаяся быстрее (DB)), имеет правую поляризацию, а при G33 <С 0 — левую. Оптическая активность ярко проявляется при распространении света вдоль оптической оси кристалла. Тогда по1 = по2 = п0 и ! (81.19) _1, если 633<0. Равенства (81.18) превращаются при этом в параметрические уравнения окружностей. Поэтому вдоль оптических осей оптически активных кристаллов распространяются циркулярно-поляризован- ные волны. Их показатели преломления, согласно (81.14) и (81.19), равны ni = no+Tn8o\G33\9 ! (81.20) И в этом случае при G33 > 0 быстрее распространяется право- поляризованная волна, а при G33 << 0 — левополяризованная. Показатель преломления левой циркулярно-поляризованной волны обозначают пь или ng (по первым буквам английского слова left или французского gauche), а правой — пг или Па (английское right, французское droit). Очевидно, Если двупреломление кристалла не очень мало, эллиптичность волны | р | быстро уменьшается с отклонением волновой нормали от оптической оси кристалла. Когда слагаемые в подкоренном выражении формулы (81.12) становятся равными друг другу, I p I = ]/iJ — 1 « 0,414. Легко подсчитать, что у оптически одноосных кристаллов это значение эллиптичности достигается при отклонении волновой нормали на угол О, определяемый равенством (81.22) *) Это традиционное определение правой и левой поляризации, принятое в большинстве руководств (Шубников, Флинт и Бокий, 1940; Ландсберг, 1957; Ландау и Лифшиц, 1957; Ф. И. Федоров, 1958; Шубников, 1958; Най, 1967). Но в последнее время распространяется обратное определение (Ландау и Лифшиц, 1973; Берестецкий, Лифшиц и Питаевский, 1968; Фейнман, Лейтон и Сэндс, 1967, вып. 3). По традиционному определению конец вектора D при распространении правополяризованной волны движется в пространстве по левому винту, новое же определение свободно-от этого недостатка. i 81] ОПТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ 523 Так как G33 по порядку величины 10~4 — 10~5, а | N;2 — No2 I составляет обычно несколько сотых, угол Ф не превышает нескольких градусов. Эту оценку можно распространить и на двуосные кристаллы. При дальнейшем отклонении волновой нормали от оптической оси эллиптичность становится очень малой и для ее вычисления вместо (81.12) можно пользоваться приближенной формулой Таким образом, эллиптически-поляризованные световые волны, распространяющиеся в двупреломляющих оптически активных кристаллах, в подавляющем большинстве направлений близки к линейно-поляризованным. Напротив, в оптически активных кристаллах кубической системы и изотропных телах все световые волны поляризованы циркулярно. Рассмотрим линейно-поляризованный свет, нормально падающий на прозрачную плоскопараллельную пластинку толщины d, выпиленную из оптически активного кристалла перпендикулярно к его оптической оси. Введем правую систему декартовых координат ХгХ2Х3 так, чтобы ось Х3 была направлена по волновой нормали, а ось Хх совпадала с направлением колебаний в падающем на пластинку Свете. Пусть х3 = О — передняя (по отношению к направлению распространения света) поверхность пластинки, х3 = d — задняя. Вектор электрической индукции световой волны непосредственно перед кристаллом колеблется по закону ег cos со/. Войдя в кристалл, волна распадается на две циркулярно-поляризованные волны равной интенсивности: у левой направление вектора индукции ех cos (k{l)x3 — со/) — е2 sin (№1)х3 — со/), а у правой — ег cos (№г)х3 — со/) + е2 sin (№г)х3 — со/); скорости их to/kW и co/k^ соответственно. Пройдя пластинку, эти волны света снова сольются в одну волну, колебания которой непосредственно за пластинкой характеризует вектор ег [cos (k^d - со/) + cos (№d - со/)] - - е2 [sin (№Ы - со/) - sin (№d - со/)]. Выполнив элементарные тригонометрические преобразования и приняв во внимание, что № + №Г) = 2со/го/с, а № — № = = 2jxaz3G33/^o, где п0 = 1/2 (щ + пг) — средний показатель преломления для света, распространяющегося вдоль оптической оси, а ^о — длина световой волны в вакууме, получим вектор направ- 524 эффекты высших порядков [гл. IX ления колебаний вышедшей из пластинки волны в виде Это значит, что волна, вышедшая из кристалла, тоже линейно поляризована, однако вектор поляризации повернулся по сравнению с первоначальным своим направлением на угол по часовой стрелке. Поэтому говорят, что при распространении света вдоль оптической оси оптически активных кристаллов происходит вращение плоскости поляризации; если G33 > 0, это правое вращение, если G33 < 0 — лепое. Однако необходимо иметь в виду, что в кристалле распространяется вовсе не линейно-поляризованная волна с постепенно поворачивающимся направлением поляризации, а две циркулярно-поляризованные волны, движущиеся с разными скоростями; лишь в результате интерференции этих волн по выходе из кристалла вновь возникает линейно-поляризованная волна, направление поляризации которой составляет с направлением поляризации падающей на кристалл волны угол г|). Оптическую активность кристаллов часто характеризуют величиной удельного вращения, т. е. поворотом плоскости поляризации на пути в 1 мм. Оптическая активность кристаллов и, в частности, величина удельного вращения существенно зависят от частоты света; это явление называется дисперсией оптической активности. Если на пластинку, вращающую плоскость поляризации, направить линейно- поляризованный белый свет, то любая монохроматическая составляющая выходящего из него света будет линейно поляризована, но положение плоскости поляризации будет изменяться с длиной волны. Без анализатора такой свет будет восприниматься как белый, пропущенный же через анализатор, он представится окрашенным, и при повороте анализатора окраска его будет меняться. В интервалах прозрачности кристалла величина удельного вращения а с увеличением частоты света со возрастает, приблизительно как со2, тензор гирации G — приблизительно как со, а тензор оптической активности y сравнительно слабо зависит от частоты. Частотная зависимость этих величин для кристалла кварца (класс 32) приведена в табл. 81.2 (Ко — длина световой волны в вакууме). Видно, что оптическую активность кристалла как такового удобнее эсего характеризовать тензором Y- Для этой цели можно использовать также безразмерный параметр G33X/a, где а — постоянная решетки в направлении распространения света. Если нормаль к пластинке составляет достаточно большой угол с оптической осью кристалла, изменение характера поляриза- \ 81] ОПТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ 525 ции света, проходящего через такую пластинку, будет существенно отличаться от рассмотренного выше. Оптическая активность проявляется теперь в форме эллиптического двупреломления. Используем систему координат, введенную в начале параграфа: ось Х3 совпадает с направлением распространения света, а оси Хг и Х2 — с главными осями центрального сечения оптической индикатрисы плоскостью волнового фронта, ось Хг с большей, а Х2 — с меньшей (п01 > п02). Таблица 81.2 Дисперсия удельного вращения а, компонент псевдотензора гирации (?зз» тензора оптической активности Хш и параметра G33%/a в кристалле кварца к. нм 686,7 656,3 f89,3 527,0 а. град/мм 15,55 17,22 21,67 27,46 ю-5 1,62 171 1,93 2,17 Vl23. пм 1,15 1,16 1,17 1,18 ОззЛ/я 0,0134 0,0135 0,0136 0,0137 Я.о. нм 486,1 430,8 396,9 а, град/мм 32,69 42,37 50,98 <?зз. ю-5 2,37 2,70 2,97 Vl23. ПМ 1,185 1,19 1,20 G33X/a 0,0138 0,0139 0,0141 Рассмотрим простой пример: на эллиптически двупреломляющую пластинку падает линейно-поляризованный свет с направлением колебаний ег. При отсутствии оптической активности (G33 = 0) он сохранил бы свою поляризацию как в пластинке, так и по выходе из нее. Поэтому все изменения характера поляризации такого света после прохождения им эллиптически двупреломляющей кристаллической пластинки обусловлены исключительно оптической активностью кристалла. Войдя в кристалл, линейно-поляризованная волна распадается на две эллиптически-поляризованные волны, как показано на рис. 81.1, а. Стрелки показывают направление обхода эллипсов (при G33 > 0), а точки на эллипсах отмечают положение концов векторов D обеих волн в некоторый момент. Эллиптичность р « ~ G33/(fio<i — /Zoi2) на рисунке сильно преувеличена. Отрезок прямой (жирная линия) — сумма обоих колебаний; как и следует, это просто линейно-поляризованные колебания, направленные по оси Хг. Пройдя пластинку с различными скоростями, волны приобретут некоторую разность хода. Так как пг > /г2, волна, описываемая меньшим эллипсом, на выходе из пластинки будет несколько опережать по фазе волну, описываемую большим эллипсом. В частности, если толщина пластинки где т — любое целое число (такая пластинка называется «пластинкой в четверть волны»), менее интенсивная волна опередит 265 ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ГГЛ ТХ более интенсивную на четверть оборота. Эта ситуация изображена на рис. 81.1, б. Сложив оба колебания, убедимся, что в результате интерференции из кристалла выйдет эллиптически-поляризованный свет; эллиптичность его приблизительно равна р и большая ось эллипса колебаний, выделенного жирным на рис. 81.1, б, повернута относительно направления коле- Щ баний падающего света на угол Ф « р по часовой стрелке. ^ Для пластинки толщины («пластинка в полволны») раз? ность фаз составит л. Из пластинки выйдет эллиптически- поляризованный свет, колебания которого показаны на рис. 81.1,6, жирным эллипсом; эллиптичность его приблизительно равна 2р, а большая ось совпадает с направлением колебаний падающего света. Эти эффекты вследствие малости характеризующего их величину параметра р очень малы. Все же при достаточно хорошей аппаратуре их можно заметить, и оптическая активность кристаллов измеряется не только вдоль оптических осей, но и в тех направлениях, в которых существенно проявляется дву- преломление (Константинова, Иванов, Гречушников, 1969; Иванов и Константинова, 1970). В результате оказывается возможным получить указательную поверхность псевдотензора гирации (см., например, рис. 81.2). Оптическая активность кристаллов характеризуется псевдотензором второго ранга G. Так как он нечетного типа, оптическую активность могут проявлять лишь кристаллы нецентросимметрич- ных классов. В общем случае он не симметричен и может быть разложен на симметричную (G5) и антисимметричную (Ga) части (см. § 18). Их значение для оптической активности кристаллов далеко не равноценно. В уравнения (81.10), определяющие характер поляризации световых волн в оптически активных кристаллах, входит Рис. 81.1. Интерференция эллиптически- поляризованных волн, распространяющихся в оптически активном кристалле: а) разложение при входе в пластинку линейно-поляризованной волны с направлением колебаний Xt на две эллиптически- пол яри зова иные волны; б) результат интерференции этих волн после прохождения ими пластинки в четверть волны; в) результат их интерференции после прохождения пластинки в полволны. Эллиптичность для наглядности сильно преувеличена. Направления обхода эллипсов указаны для баз > 0. ■ 81] ОПТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ 527 компонента G33 псевдотензора гирации, отнесенного к специальной системе координат, в которой ось Х3 направлена по вектору волновой нормали п. В произвольной ( в частности, в кристаллофизи- ческой) системе координат эта величина равна п<лп — нормальной составляющей псевдотензора G в направлении п. Она полностью определяется его симметричной частью 0s. Поэтому, рассматривая Тюляризацию волн в кристалле, псевдотензор гирации можно считать симметричным. В табл. Д. 7 указан вид псевдотензора Gs для всех кристаллографических классов. В кристаллографической системе координат он имеет 9 различных форм. Это, однако, вовсе не означает, что имеется 9 классов симметрии оптической активности: приведя выписанные в табл. Д.7 псевдотензоры к главным осям*), убедимся, что таких классов всего четыре. Они перечислены в табл. 81.3. Тензор гирации зависит от частоты. Это явление называется дисперсией оптической активности. Изменения тензора гирации, обусловленные дисперсией, могут привести к повороту его собственных векторов и, следовательно, к изменению ориентировки тензора гирации относительно кристалла. Разность между числом независимых компонент псевдотензора гирации и числом параметров, характеризующих оптическую активность, как раз и показывает, сколькими величинами задается ориентировка псевдотензора гирации относительно кристалла данного класса. Одному и тому же классу симметрии оптической активности может соответствовать несколько классов симметрии ее дисперсии. Так, при симметрии оптической активности 222 симметрия ее дисперсии может быть или 222, или 2, или 1. С аналогичной ситуацией мы уже встречались, исследуя симметрию диэлектрических свойств кристаллов. При симметрии оптической активности 42т также различаются три класса симметрии ее дисперсии: у кристаллов классов 42т и тт2 собственные векторы жестко связаны с элементами симметрии кристалла; у кристаллов класса 4 закреплен лишь один собственный вектор, соответствующий нулевому собственному Рис. 81.2. Указательная поверхность псевдотензора гирации для правого а-кварца, класс 32. Плюс означает правое вращение, минус — левое; в 10"*. *) Симметричный псевдотензор второго ранга приводится к главным осям точно так же, как и симметричный тензор второго ранга, только его собственные значения — не скаляры, а псевдоскаляры. Поэтому нужно следить, не заменили ли мы, выбирая направление и нумерацию собственных векторов, правую тройку ортов левой или наоборот: если заменили, то все собственные значения следует умножить на —1, 528 ЭФФЕКТЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ \ТЛ IX значению; наконец, у кристаллов класса пг собственный вектор, соответствующий нулевому собственному значению, с изменением частоты может поворачиваться, оставаясь все время в плоскости симметрии кристалла, а два других собственных вектора поворачиваются вместе с ним тачк, чтобы каждый из них все время был наклонен к плоскости симметрии под углом 45°. Всего существует 8 классов симметрии дисперсии оптической активности; они также перечислены в табл. 81.3.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Оптическая активность кристаллов» з дисципліни «Основи кристалофізики»
