Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Основи кристалофізики

Пьезоэлектрический эффект и его симметрия

При рассмотрении внутренней энергии и термодинамического
потенциала кристалла (§ 57) выяснилась возможность
электрической поляризации кристалла под действием механических
напряжений и деформации кристалла под действием электрического
поля. Если в формулах E7.186), E7.18в) оставить только
слагаемые, описывающие эти явления, получим
Первая из этих формул описывает пьезоэлектрический, вторая —
обратный пьезоэлектрический эффект. Оба они характеризуются
одним и тем же набором коэффициентов diM#, связанных с тензором
пьезоэлектрических коэффициентов
'-(те).- «—WjU <58-2»
соотношением (см. приложение Е)
dm (Л/-Н--1. 2, 3),
//1 I Ь\ 4 > 11 cL *л г\ I
ikl l/vi' * ' М/ — тг, kj , "/•
380 ТЕРМОДИНАМИКА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ VII
Формулы E8.1) можно записать и в виде
Д- = Andiklokh D = 4nd: cr;
При использовании формул E8.1) и E8.4) нужно обращать внимание на роль
отдельных индексов. В формулах E8.1) латинский индекс у d^ соответствует
электрическим величинам и всегда стоит на первом месте; греческий же индекс
соответствует механическим величинам. В формулах E8.4) первый индекс
соответствует электрическим величинам, второй и третий — механическим. В
согласии с этим указан и порядок умножения в формулах E8.4).
Тензор пьезоэлектрических коэффициентов d — тензор третьего
ранга; внутренняя его симметрия У [У2]. Как и все материальные
тензоры нечетного типа, он тождественно равен нулю для всех
центросимметричных кристаллов. Таким образом, в центросиммет-
ричных кристаллах (и вообще в центросимметричных однородных
средзх независимо от их строения) пьезоэлектрический эффект
невозможен. Вид, который принимает тензор d в нецентросиммет-
ричных группах, можно определить при помощи методов,
описанных в гл. V. Результаты такого исследования сведены в табл. Д. 11.
Обзор этой таблицы показывает, что тензор d обращается в нуль
в двух нецентросимметричных точечных группах: в
кристаллографической группе 432 и в предельной группе оо оо *). В остальных
20 кристаллографических и 3 предельных классах
пьезоэлектрический эффект возможен. При определении числа классов
пьезоэлектрической симметрии нужно учитывать, конечно, теорему Германа,
вследствие которой симметрия пьезоэлектрических свойств,
скажем, кристаллов классов 4mm и 6mm и текстур класса оо т,
одинакова. Кроме того, можно показать, что кристаллы классов б
и 6т2 составляют один класс пьезоэлектрической симметрии, хотя
вид тензора d для этих классов различен.
Аналогичная ситуация встречалась при рассмотрении классов упругой
симметрии (§ 52), что позволяет избежать подробных объяснений. Вид тензора d
для кристаллов класса 6 не может «ухудшиться» ни при каком повороте системы
координат вокруг оси Х3> поскольку направление осей Хг и Х2 не определяется
в классе 6 элементами симметрии кристалла. Однако, повернув систему
координат вокруг оси Х3 на некоторый угол, мы можем обратить одну из двух
независимых компонент тензора d в нуль и таким образом привести его к тому же виду,
какой имеет тензор d для кристаллов класса 6т2. Этим доказывается, что
истинная симметрия этого тензора 6т2.
Необходимо иметь в виду, что принадлежность данного
конкретного кристалла к одному из пьезоэлектрических классов вовсе не
означает, что этот кристалл действительно проявляет пьезоэлектри-
*) Заметим, что это — следствие внутренней симметрии V [V2] тензора d.
Тензор третьего ранга общего вида, т, е, внутренней симметрии V3, в этих группах
в нуль не обращается.
§58] ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ И ЕГО СИММЕТРИЯ 381
ческие свойства. Известны диэлектрические кристаллы,
принадлежащие к пьезоэлектрическим классам и не обнаруживающие —
при достигнутой точности эксперимента — никаких
пьезоэлектрических свойств. Этим пьезоэлектричество отличается от таких свойств,
как упругость или тепловое расширение, которыми обладают
все твердые тела. Напротив, принадлежность кристалла к одному
из непьезоэлектрических классов — надежная гарантия
отсутствия у этого кристалла пьезоэлектрических свойств.
Отдельные разновидности пьезоэлектрического эффекта
разрешены для одних пьезоэлектрических классов и запрещены для
других. Таков, например, пьезоэлектрический эффект,
возникающий при всестороннем гидростатическом давлении. Из
уравнения E8.4) при Gki = —рЬы получим
D^ — Шшр. E8.5)
Таким образом, пьезоэлектрическая поляризация возникает в
данном случае лишь при условии, что компоненты dt = di]ik вектора
d = d : I отличны от нуля. Очевидно, d — материальный вектор,
а материальные векторы отличны от нуля лишь в том случае, когда
они описывают свойства кристаллов пироэлектрических классов.
Поэтому пьезоэлектрический эффект, возникающий при
всестороннем гидростатическом давлении, возможен лишь в 10
кристаллографических и 2 предельных классах из числа 20
кристаллографических и 3 предельных классов, допускающих вообще
пьезоэлектрический эффект (табл. 58.1).
Таблица 58.1
Вектор пьезоэлектрического эффекта под действием
гидростатического давления d = d : I (di = d)
К л ассы
1
т (т 1 е2)
т(т 1 е3)
2 B ||*,)
2 B || е3), тпй
3, 4, 6, со, Зт,
4тт, бтт, со т
Вектор d
№i + di2 + dl3) ex + (d8i + d22 + d23) e2 +
+ №i + d32 + d33) e3
(du + dn + d13) ex + (d3i + d32 + d33) e3
(dn + di2 + d13) ex + (d2i + d22 + d23) e2
(d21 + d22 + d23)e2
(d3i + d32 + d33)e3
Vd31 + d33)e3
Другой пример связан с опытами братьев Кюри, в которых был
обнаружен пьезоэлектрический эффект: на грань кристалла ста*
вился груз, и на этой грани измерялась плотность заряда рпов. Так
382 ТЕРМОДИНАМИКА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ VII
как напряженное состояние сводилось к одноосному сжатию okl =
= —pnkrii (n — единичный вектор нормали к грани), то
Рпов = — 4^ п • D = pdikininknh E8.6)
Очевидно, что при таких измерениях проявляется только
симметричная часть тензора diM — тензор продольного
пьезоэлектрического эффекта
fiki - rf(i«) = 4 {dim + dM + dlik). E8.7)
Действительно, л-d : nn = nf: nn. У тензора f внутренняя
симметрия — [У3]. В отличие от тензора d, он в общем случае имеет
не 18, а всего лишь 10 независимых компонент. Связь его с
тензором d показана на табл. 58.2. Совпадение тензоров f и d у некоторых
классов указывает на то, что у кристаллов этих классов можно
получить все компоненты тензора d из измерений продольного
пьезоэлектрического эффекта. В тех же случаях, когда тензоры f
и d у кристаллов данного класса различны, получить все
компоненты тензора d посредством только таких измерений заведомо
невозможно. В пьезоэлектрических классах 422, 622, оо 2 продольный
пьезоэлектрический эффект запрещен. Классы продольной
пьезоэлектрической симметрии перечислены в табл. 58.3. Видно, что
некоторые кристаллографические классы, относящиеся к
различным классам пьезоэлектрической симметрии, входят в один и тот
же класс продольной пьезоэлектрической симметрии. Наиболее
интересен из них класс продольной пьезоэлектрической симметрии
33т: в него входят кристаллы классов 43т, 23, 42т, 4 и 222,
принадлежащих трем различным системам. К перечисленным классам
относятся многие пьезоэлектрические кристаллы, важные для
техники. В классе 222 кристаллизуется важнейший сегнетоэлектрик-
пьезоэлектрик сегнетова соль, в классе 42т — чрезвычайно широко
используемые кристаллы дигидрофосфата калия (KDP), дигидро-
фосфата аммония (ADP) и все изоморфное им семейство. Класс 43т
особенно интересен тем, что к нему относятся пьезоэлектрические
полупроводники такие, как сфалерит, арсенид галлия, антимонид
индия и др. В классе 23 кристаллизуется германат висмута,
имеющий много технических применений.
Тензор продольного пьезоэлектрического эффекта для
кристаллов этих классов имеет всего одну независимую компоненту и
кратен единичному септору S°[43m] (см. табл. 47.4), указательная
поверхность которого, показанная на рис. 47.3, служит, таким
образом, универсальной указательной поверхностью продольного
пьезоэлектрического эффекта во всех таких кристаллах. Продольный
пьезоэлектрический эффект в направлении п определяется по
стереографической проекции (рис. 47.3) с помощью формулы
/ (п) = и^п,пк = 2/1MS° (n)lVb. E8.8)
§58]
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ И ЕГО СИММЕТРИЯ
383
Таблица 58.2
Связь тензора продольного пьезоэлектрического аффекта f
с тензо ом пьезоэлектрических коэффициентов для всех классов
симметрии кристаллов и текстур, допускающих пьезоэлектрический эффект
(расположение компонент fikl таково же, как в табл. Д. 10)
Классы
1
2
B||Х2)
2
т
(т 1 Х2)
т
(т 1 Х3)
222
тпп
3
32, 62т
32, 6т2
B||Х2,
т 1 XJ
0
2о
0
0
43(d!+dle
du
1/3(V"le
0
0
0
0
0
dn
dn
0
0
0
—^22
0
0
0
0
0
) /з (^32~Ь4)
^/з (^12 Ч~ ^2в)
0
) V3 D,2 + 4,4)
/з (2 г в)
) ^22
0
ооо
0
0
5) V3 №2 + ^24)
о11
0
0
<*22
0
fikl
V3№33 + ^34)
^33
0 V(
V3№3 + rf34)
0
с?зз
13
V3№3+^)
0
ooo
0
0
0
0
^33
ooo
0
0
0
)(du + d2-o+d3Q)
0
0
0
0
0
0
384
ТЕРМОДИНАМИКА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. VII
Таблица 58.2 (продолжение)
Классы
3m
(т 1 Xi)
6
4
42m
4, 6, оо
4mm,
6mm, com
23, 43m
V
П р и м е ч
oooo, 432, 622,
В таблице
0
-4*2
j (d3i +
du
-dn
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
а н и я.
422, оо2
0
-dn
d22
0
0
0
dn) -i/,№i+di.)
0
0
0
0
0
in) ^(dn + dn)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
d33
0
0
0
Во всех центросимметричных классах
тензор f = 0.
0
0
ifeBdu + d3Q)
1/eBrfi4 + rf3e)
0
а также в классах
выписаны коэффициенты fn, связанные с коэффициентами fib/ тензора
продольного пьезоэлектрического эффекта правилом
( fikl (kl~% =
T* \2fikl (kl^X-
пересчета
= 1, 2, 3),
= 4, 5, 6).
Таблица 58.3
Симметрия продольного пьезоэлектрического эффекта
Классы продольной
пьезоэлектрической
симметрии
1
пг
тт2
Зт
6т2
оот
43т
Кристаллы, продольный пьезоэлектрический
эффект в которых обладает такой симметрией
1
т
2, mm2
3, 3m
32, 6, 6m2
4, б, оо, 4mm, 6tnmt oo m
222, 4, 42m, 23, 43m
i 58]
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ И ЕГО СИММЕТРИЯ
385
Также одну независимую компоненту имеет тензор f для класса
продольной пьезоэлектрической симметрии 6m2, в который входят
кристаллы классов 6т2 и 32; он кратен единичному септору
S°[6m2] (см. табл. 47.3), указательная поверхность которого (см.
рис. 47.4) тоже оказывается универсальной указательной
поверхностью продольного пьезоэлектрического эффекта в кристаллах
соответствующих классов. Продольный пьезоэлектрический эффект
6)
Рис. 58.1. Сечения указательных поверхностей продольного пьезоэлектрического
эффекта, представляющих собой поверхности вращения: а) для кристалла сульфида
кадмия CdS, класс 6mm; б) для кристалла титаната бария ВаТЮ3, класс 4mm. Симметрия
поверхностей сот, антисимметрия со/т'т (см. § 68) (Бутабаев и Сиротин, 1972).
подсчитывается в этом случае по стереографической проекции
рис. 47.4 и формуле
/ (п) = — /222^° (#)• E8.9)
Для класса продольной пьезоэлектрической симметрии com
fi/i=s FyV\ibji) -f- FsSiji, E8.10)
где единичные неприводимые тензоры симметрии oom —вектор V
и септор S —определены равенствами*)
V\ = kit E8.11)
So * /Сi, it t% ot* a \ /Co 1 o\
if I == ~R~ [pKftjKi — OK (iOji)) (Oo. iZ)
(ft —единичный вектор оси Х8), а коэффициенты при единичных
тензорах равны
■3/ш). E8.13)
♦) Ср. табл. 47.4 и формулы E2.10) и E2.11),
13 Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская
386
ТЕРМОДИНАМИКА КРИСТАЛЛОВ
(ГЛ. VII
Указательные поверхности продольного пьезоэлектрического
эффекта для кристаллов, входящих в этот класс продольной
пьезоэлектрической симметрии — поверхности вращения
9 E8.14)
где У0 (п) и S0 (п) — указательные поверхности единичных вектора
и септора, сечения которых показаны на рис. 47.1. В зависимости
от отношения коэффициентов Fv и Fs они могут носить септорный
или векторный характер; к первому типу относится, например,
Рис. 58.2. Стереографическая проекция указательной поверхности продольного
пьезоэлектрического эффекта в кристалле сульфата лития Li2SO4*H2O, класс 2. Симметрия
поверхности тт2, антисимметрия ттт'\ в 10~8 ед. СГСЭ.
поверхность продольного пьезоэлектрического эффекта в сульфиде
кадмия CdS (класс 6mm); ко второму — в титанате бария BaTiO3
(класс 4mm), рис. 58.1. Оба эти кристалла широко применяются
в технике.
Если указательная поверхность продольного
пьезоэлектрического эффекта не является поверхностью вращения, ее удобнее
изображать посредством стереографических проекций (см. § 24).
Так, две стереографические проекции и сечение указательной
поверхности продольного пьезоэлектрического эффекта в кристалле
турмалина (класс Зт) приведены на рис. 44.2. Стереографические
проекции указательных поверхностей продольного пьезоэлектрического
эффекта в двух кристаллах моноклинной системы приведены на
\ 58]
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ И ЕГО СИММЕТРИЯ
387
рис. 58.2 и 58.3. Обращает на себя внимание совершенно различный
характер анизотропии этих кристаллов, принадлежащих одному
и тому же классу 2. Симметрия продольного пьезоэлектрического
эффекта в этих кристаллах тт2; плоскости симметрии, проходящие
через ось 2, можно усмотреть и на рис. 58.2 и 58.3, но значительно
нагляднее они стали бы, если бы ось 2 была выведена в центр
проекции.
0
Рис. 58.3. Стереографическая проекция указательной поверхности продольного пьезо*
электрического эффекта в кристалле этилендиаминтартрата, класс 2, Симметрия по*
верхности тт2, антисимметрия ттт'\ в 10~8 ед. СГСЭ.
Рассматривая влияние симметрии кристаллов на их пьезоэлектрические
свойства, мы пользовались вычисленными для различных кристаллографических
классов общими формами тензора пьезоэлектрических коэффициентов d. Между
тем некоторые результаты этого рассмотрения можно получить без всяких
вычислений, исходя только из принципа Кюри и теоремы Германа. Этим мы и
займемся.
Для того чтобы в кристалле (и вообще в какой-либо однородной среде) под
влиянием некоторого внешнего воздействия могла возникнуть электрическая
поляризация, необходимо, чтобы в кристалле, подвергнутом воздействию,
существовало по крайней мере одно особенное полярное направление, а для этого,
в свою очередь, необходимо (см. §§ 3,25 и приложение В), чтобы группой
симметрии среды, подвергнутой внешнему воздействию, была оо т или любая ее
подгруппа
Сср,ВОЗд. E8.15)
Но группа симметрии среды, подвергнутой воздействию, согласно принципу
Кюри, не ниже, чем пересечение (общая часть) двух групп: группы симметрии
свободной среды Gcp и группы симметрии воздействия GB03A:
рП^возд- E8.16)
> возд :
13*
388 ТЕРМОДИНАМИКА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. VII
Сравнив соотношения E8.15) и E8.16), получаем окончательно
оот=2<3СрПСВОзд, E8.17)
т. е. для того, чтобы в однородной среде под влиянием некоторого внешнего
воздействия могла возникнуть электрическая поляризация, необходимо, чтобы
пересечение группы симметрии среды и группы симметрии воздействия было бы
группой оо т или одной из ее подгрупп.
Это общее правило справедливо для всех видов электрической поляризации.
При пьезоэлектрической поляризации симметрия воздействия в зависимости
E8.17) описывается одной из трех групп: оо оо т при всестороннем сжатии, оо /mm
при одноосном растяжении, ттт во всех остальных случаях.
В общем случае, когда бВОзд = ттпг> необходимое условие возникновения
пьезоэлектрической поляризации принимает вид
сот э Gcp П ттт. E8.18)
Так как группа ттт центросимметрична, а группа оо т нецентросимметрична,
условие E8.18) удовлетворяется только нецентросимметричными группами Gcp:
пьезоэлектрические однородные среды нецентросимметричны.
Но все ли нецентросимметричные группы Gcp удовлетворяют условию E8.18)?
Одна из них, а именно оо оо, ему, во всяком случае, не удовлетворяет.
Действительно, оооо П ттт = 222, но эта группа вовсе не является подгруппой
группы оо т. Таким образом, в средах симметрии оо оо пьезоэлектрическая
поляризация невозможна.
По-иному решается вопрос о возможности пьезоэлектрической поляризации
и пьезоэлектрического эффекта в кристаллах класса 432. Легко найти такое
напряжение, чтобы 432 П ттт = 1; достаточно приложить его так, чтобы ни одна
из осей симметрии тензора напряжений не совпадала бы с какой-либо из осей
симметрии кристалла. Но несмотря на то, что условие E8.18) при этом
удовлетворяется, линейный пьезоэлектрический эффект в кристаллах класса 432
невозможен. Действительно, этот эффект описывается тензором третьего ранга. По
теореме Германа оси симметрии четвертого порядка служат для него осями
бесконечного порядка. Отсюда ясно, что по симметрии линейного
пьезоэлектрического эффекта кристаллы класса 432 не отличаются от сред класса оо оо, а в
последних, как мы только что видели, пьезоэлектрическая поляризация запрещена.
Однако наряду с линейным пьезоэлектрическим эффектом возможен гораздо более
слабый квадратичный пьезоэлектрический эффект, при котором поляризация
квадратично зависит от компонент тензора напряжений (см. § 74):
Di = *nQitkim°jkOim- E8.19)
Так как квадратичный эффект определяется тензором пятого ранга, а порядок
осей симметрии у кристаллов класса 432 не превышает четырех, теорема Германа
к нему неприменима; следовательно, пьезоэлектрическая поляризация такого
типа принципами симметрии не запрещена. Расчет показывает, что материальный
тензор пятого ранга Q внутренней симметрии V [[V2]2] для кристаллов класса 432
действительно может иметь отличные от нуля компоненты *).
Аналогично можно показать, что продольная пьезоэлектрическая
поляризация в средах симметрии оо 2 запрещена принципом Кюри. Используя еще теорему
Германа, можно убедиться, что линейный продольный пьезоэлектрический эффект
запрещен также в кристаллах классов 422 и 622.
Таким образом, запреты, налагаемые принципом Кюри и условием
обращения в нуль всех компонент материального тензора, не совпадают по
содержанию. Запрещая пьезоэлектрическую поляризацию в средах симметрии оо оо,
*) См. табл. Д.23. Вид таких тензоров для кристаллов всех классов вывел
Копцик A966),
§ 58] ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ И ЕГО СИММЕТРИЯ 389
принцип Кюри полностью исключает возможность возникновения в них
электрической поляризации в результате воздействия механических напряжений,
безотносительно к характеру функциональной зависимости поляризации от
напряжений — линейна ли она, квадратична или еще более сложна. Напротив, из
равенства нулю тензора пьезоэлектрических коэффициентов для среды определенной
симметрии следует лишь, что в этой среде невозможна пьезоэлектрическая
поляризация, линейно зависящая от напряжений; возможность же возникновения
Тепло Вые
Величины
Рис. 58.4. Схема взаимодействия тепловых, электрических и механических явлений
в кристаллах.
пьезоэлектрической поляризации, связанной с напряжениями более сложной
функциональной зависимостью (например, квадратичной), не исключается. Это
убедительно иллюстрирует квадратичный пьезоэлектрический эффект в
кристаллах класса 432.
Приняв во внимание пьезоэлектрический, обратный пьезоэлектрический,
электрокалорический и пьезокалорический эффекты, мы получаем стройную схему
взаимодействия тепловых, электрических и механических явлений, происходящих
в кристаллах: любая обобщенная термодинамическая сила, приложенная к
кристаллу, вызывает, вообще говоря, изменение всех его обобщенных
термодинамических координат. Эта схема изображена на рис, 58,4, заимствованном с
некоторыми изменениями из учебника Ная A967),
390
ТЕРМОДИНАМИКА КРИСТАЛЛОВ
[ГЛ VI!
Итак, обращение в нуль материального тензора приводит к более
конкретным, но менее общим запретам, а принцип Кюри — к более общим, но зато менее
конкретным. Однако из принципа Кюри можно получить и более конкретные
запреты (например, запрещение именно линейного пьезоэлектрического эффекта
в кристаллах класса 432), если наряду с ним использовать и теорему Германа.
Но во всех случаях необходимо твердо помнить, что принцип Кюри — в
сочетании ли с теоремой Германа или без нее — лишь запрещает те или иные эффекты,
но вовсе не утверждает, что эффекты, не противоречащие ему, действительно
существуют.
Полностью схемы взаимодействия тепловых, электрических и
механических свойств кристаллов реализуются лишь при
отсутствии точечной симметрии, т. е. на кристаллах класса 1. К
сожалению, до настоящего времени нет ни одного кристалла класса 1, для
которого удалось бы измерить все коэффициенты. Симметрия
кристаллов приводит к исчезновению тех или иных взаимодействий.
Это наглядно иллюстрируют матрицы табл. 58.4 (Най, 1967).
Таблица 58.4
Термодинамические матрицы М для всех кристаллографических
и предельных классов
Триклинная система
класс 1 класс I
•
• • •
• • •
• • •
класс 2
Моноклинная система
класс т класс 2/т
§58]
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ И ЕГО СИММЕТРИЯ 391
Таблица 58.4 (продолжение)
класс 222
Ромбическая система
класс тт2
класс ттт
Тетрагональная система
класс 4 класс 4 класс 4/т
• •
\
I I
*x*
X
XI I
~\
•-0 •
•
\
I I
'x.
X
•-O •
XI I
•-O •
•
I
•
\
•
XI 1
\
•-о •
класс 422
класс 4тт
•
•
I
•
\
\
XI
\
•
• •
• •
I I
• •
У
/
XI
•
класс 42т
класс 4/ттт
•
I
\
\
XI
\
I
XI
392
ТЕРМОДИНАМИКА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. VII
Таблица 58.4 (продолжение)
Тригональная система
класс 3 класс 3
•
•
I
•
•
ч
•
•
i
4
класс 32
класс Ът
класс Ът
*
I
•
ч
•
\
XII
~44N.
>© X
•
•
i
•
•
4
•
•-• •
ХП
•
I
•
ч
•
хц
^<ч\
>• X
Гексагональная система и текстуры
классы б и оо класс 6 классы 6/т,
6/ттт, со/т и
оэ/тт
•
•
I
•
•
ч
•
I
X*
X
XI
ч
X
•
I
•
ч
•
1
XI
ч
х
•
I
•
ч
•
V! *
XI
Ч
X
классы 622 и оо2
классы бтт и
тсо
классы
6т2
•
I
•
ч
•
ч
ч
XI
ч
X
•
•
I
•
•
ч
•
I
•
У
XI
ч
х
•
I
•
ч
•
/
XI
ч
X
§ 68] ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ И ЕГО СИММЕТРИЯ 393
Таблица 58.4 (продолжение)
Кубическая система
классы 23 и 43т классы тЗ, 432 и
тЪт
\
1
\
\
\
\
"I
\
Изотропные и гиротропные тела
классы со сот и
оо оо
\
i
Обозначения
• компонента, отличная от нуля,
> щ равные (и отличные от нуля) компоненты,
О компоненты, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку,
компонента, равная удвоенной компоненте, обозначенной точкой ф, с
которой этот знак соединен линией,
компонента, равная взятой с обратным знаком удвоенной компоненте,
обозначенной точкой, с которой этот знак соединен линией,
X 2(s11-s12) = 2(M44 - М4Ь).
Все матрицы симметричны относительно главной диагонали.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Пьезоэлектрический эффект и его симметрия» з дисципліни «Основи кристалофізики»