В этом параграфе будет показан более удобный способ вывода необходимых условий, которым должен удовлетворять тензор, инвариантный относительно отражения в плоскости симметрии, относительно поворотов вокруг осей второго и четвертого порядка, а также вокруг осей третьего порядка, имеющихся в кристаллах кубической системы. Он предложен Фуми и называется методом прямой проверки (Ftimi, 1952). В этом методе существенно используются два обстоятельства: 1) что компоненты тензоров преобразуются как произведения компонент векторов; 2) что нас интересует вид материального тензора в кристаллофизической системе координат, а она строится на элементах симметрии кристалла, так что оси симметрии и нормали к плоскости симметрии совпадают с осями координат, с биссектрисами углов между ними и т. п. Рассмотрим, например, как преобразуются компоненты вектора под действием поворота системы координат на 90° вокруг оси Х3. Если орты «старой» координатной системы обозначим еъ е2, e3t а «новой» #!', #2', вг, то можно записать хег + уе2 + геъ = x'ev + y'er + z'er. Здесь х, у, z — первая, вторая и третья компоненты вектора соответственно. Матрица косинусов для данного поворота 10 1 0II -10 0. 0 0 1 | Новые орты, определяемые формулой ei> = Ci>kek, равны соответственно ву = е2, е%> = — еъ ег = #3. Таким образом, хег + уе2 + zes = х'е2 - у'ег + z'e3. *) Группа антисимметрии этого тензора и его указательной поверхности \'\ттт' (см. §§ 67, 68), 270 СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ [ГЛ. V Так как орты линейно независимы, это равенство выполняется только тогда, когда коэффициенты при соответствующих ортах равны ' ' ' (Тот же результат получился бы сразу, если действовать матрицей II d>k II непосредственно на компоненты, а не на орты; мы избрали более длинный путь, чтобы в следующем параграфе провести аналогичные операции над циклическими координатами, которые, в отличие от декартовых, преобразуются не так, как соответствующие им циклические базисные векторы.) Мы видим, что в данном случае компонента вектора или остается неизменной, или переходит в другую компоненту, быть может, еще изменяя при этом знак. Это связано с видом матрицы косинусов: все ее элементы целочис- ленны и равны +1, —1 или 0. Метод прямой проверки Фуми применим только к таким операциям симметрии, которые характеризуются целочисленными матрицами косинусов. Матрица косинусов целочисленна только для некоторых избранных поворотов, оси которых расположены строго определенным образом относительно координатной системы. В частности, для поворота на 120° (ось третьего порядка) матрица косинусов цело- численна, если ось поворота составляет равные углы с осями Хи Х2 и X9t но не целочисленна, если эта ось совпадает с какой-либо из координатных осей. В табл. 45.1 приведены все практически важные случаи таких поворотов. Таблица 45.1 Преобразования индексов» применяемые в методе прямой проверки х' у>, г1 1 —X —у —г —*х —у г 2х X —у —г 2У —X У —г 2*У У X —г X У —г тх —X У г ту X —у г тху —у —х г 4z У —X г —у X —г хуг У г х Примечание. Индексы х, у, г означают, что ось симметрии (или нормаль к плоскости симметрии) совпадает с осями Хи Х9 и Х3 соответственно. Индекс ху показывает, что она направлена по биссектрисе угла между осями Хх и Х2, а индекс хуг — чго она направлена вдоль прямой, образующей с осями Хи Xt, X3 равные углы. Рассмотрим теперь, как преобразуются при этом же повороте компоненты тензора второго ранга. Чтобы воспользоваться тем, что они преобразуются, как произведения компонент вектора, будем обозначать компоненту с индексами 11 символом [**], с индексами 12 — символом [ху] и т. д. Так как мы не предполагаем, что тензор симметричен по индексам (например, [ху] *£ [ух]), за §45) МЕТОД ПРЯМОЙ ПРОВЕРКИ 271 порядком «сомножителей» в символах компонент нужно внимательно следить, ни в коем случае их произвольно не переставляя. В остальном же с этими символами можно обращаться как с обычными произведениями. Если компоненты вектора при операции 4г подвергаются преобразованию ' ' ' то компоненты тензора, как их произведения, преобразуются следующим образом: [**]'- Ш [Ух]' = -[ху] [«]'- [гу], [ху]' [ух] Ы'= [хх], [гуГ — [гх], [xz]'= [уг], [уг]' — [ди], [zz]'= [zz]. Проделав то же для операций 2г, 2Х и Зхуг, составим таблицу: i [XX]' [уу]' [гг]' [уг]' [гу]' [хх] Ш [и] -[уг] -[гу] *х [хх] Ш [гг] [уг] [гу] Ы [хх] [гг] -[хг] -[гх] з xyz [уу] [гг] [хх] [гх] [хг] 8 [гх]' [хг]' [ху]' [ух]' 3, -[гх] -[хг] [ху] [ух] 2х -[гх] -[хг] -[ху] -[ух] [гу] Ь/г] -[ух] ~[ху] [ух] [Уг] Ш Если кристалл относится к классу 2 и ось 2 параллельна Х8, то компоненты материального тензора под действием операции 22 не должны меняться. Поэтому мы вправе поставить знаки равенства между индексами, стоящими в одних и тех же строках в первом и втором столбцах нашей таблицы. Но равенства вида [уг] = —[уг] удовлетворяются только при [уг] = 0. Тривиальные же равенства вида [хх] = [хх] удовлетворяются при любых значениях соответствующих компонент. Таким образом, материальный тензор второго ранга для кристаллов класса 2 (при нестандартной установке оси 2 параллельно Х3) 1Тц Т1г 0 II Тп т22 о I. о о т931| Рассматриваемый тензор — четного типа и потому, как показано в предыдущем параграфе, он должен иметь точно такой же вид и для кристаллов других классов, входящих в ту же подсистему: m и 21т. Рассмотрим теперь класс 4. Так как среди операций группы 4 есть 22, можно сразу положить равными нулю компоненты [yz], 1гу]> [гх] и [хг] *). Для остальных компонент имеем [хх] = [уу], *) Но можно было бы этим и не пользоваться. Например, сопоставив равенства [уг] = [хг] и [хг] = — [уг], сразу видим, что [уг] = [хг] = 0, 272 СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ Ггл v [ху] = —[ух]. Итак, для класса 4 (а также и для классов 4 и 4/т) материальный тензор второго ранга IT1!! Т12 О II -Тп Тп О . О 0 Гзз | Мы рассмотрели группы с.одним генератором. Для групп с несколькими генераторами условие равенства преобразованных и^е- преобразованных компонент должно выполняться для каждого генератора в отдельности. В табл. 45.2 указаны наборы генераторов, наиболее удобные для применения метода прямой проверки. Таблица 45.2 Генераторы (порождающие элементы) кристаллографических и предельных групп Группа I 2B||Х2) 2B||Х3) m (m 1 Х2) m(m 1 Xs) 2/mB||X2) 2/mB||X3) 222 mrrtl tntntn 3 3 32B1X0 32 B1| X2) 3m (m l Xt) 3m (m 1 X2) 3mB||X1) 3mB||X2) 4 4 4/m 422 Генераторы l 2z ttly tnz 2y, 1 2г, Т 2z< 2X 2Z, tnx 2Z, 2X, I 3z 3z> T 32, 2X SZi 2у 3Zy mx 3Zy ГПу 3z, 2X, I 32, 2y, 1 4z i. *s. T 4.. 2X Группа 4mm 12m B1| Xx) \пп (m l Xt) 4/mmm 6 6 6/m 622 6mm 6m2 (m 1 Xx) 62m B1| XJ 6/mmm 23 m3 432 43m m3m oo oo/m oo2 com co/mm Генераторы 4Zi mx iz> 2X 4Z, mx 4Z, 2X, 1 62 6г 6Zi 1 6Z>2X 6Z, mx 6ZI mx 6z,2x 6Z> 2X, 1 2jr» $xyz_ *Z* 3XyZ, 1 ^z* &xyz *z* °xyz_ *z> 3xyz> ^ coz_ ooz, / oo*, 2X coZi mx оог, 2Xi 1 Воспользуемся этим правилом, чтобы определить вид материального тензора второго ранга для классов 222, 422, 23 и 432 (и тем самым для всех классов соответствующих подсистем). § 45] МЕТОД ПРЯМОЙ ПРОВЕРКИ 273 Для класса 222 после проверки на инвариантность относительно 2г остаются компоненты [хх], [уу], [zz], [xy] и [ух]. Проверка на инвариантность относительно 2Х отсеивает последние две компоненты. В результате получаем |7„ о о О Г22 о О О Г33 Для класса 422 после проверки на инвариантность относительно 4Z остаются [хх] = [уу], [zz], [xy] = —[ух]. Проверка на инвариантность относительно 2Х отсеивает последнюю пару компонент, так что 1Тп О 0 || О 7ц 0 . О 0 Гзз I Для класса 23, рассматривая действие операции Зхуг на компоненты, оставшиеся после проверки на 2Zf получаем равенства [хх] = [zz] = [уу), [xy] = [zx] = О, [ух] = [xz] = 0. Отсюда 1Тп 0 0 II 0 Ти 0 . о о тп | Для класса 432 получим тот же результат, рассмотрев действие операции 3xyz на компоненты, оставшиеся после проверки на 4г. Рассмотренный пример показывает, во-первых, что группа внешней симметрии тензора может оказаться значительно шире, чем группа симметрии кристалла, относительно которой должен быть инвариантен данный тензор (дело не сводится только к добавлению центра симметрии: наложив на тензор требования инвариантности относительно группы 23, мы получили тензор внешней симметрии не тЗ, а гораздо более высокой — оооот). Рассмотренный пример указывает, во-вторых, на связь внешней и внутренней симметрии тензора. Мы рассматривали тензор внутренней симметрии У2, т. е. не предполагали, что он симметричен (или антисимметричен) по индексам. Для классов Лауэ 21т и 4/пг мы и получили тензор внутренней симметрии У2, но для классов Лауэ ттт, 4/ттт, тЗ и тЗт условия инвариантности привели к повышению внутренней симметрии тензора до [V2]—он стал симметричным по индексам. Таким образом, внешняя симметрия тензора иногда предопределяет его внутреннюю симметрию. К тензорам более высокого ранга метод прямой проверки применяется столь же просто. Единственное затруднение связано с тем, что у них больше компонент, так что задача становится хотя и не труднее, но значительно длиннее. Это затруднение можно в какой-то мере обойти, если не выписывать всех перестановок индексов: ясно, например, что если [xz]' = [yz], то [zxY = [zy]. 274 СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ ГГЛ. V Рассмотрим тензор третьего ранга и выясним, какой вид он принимает для кристаллов классов 42т и 422. Для этого достаточно проверить действие на него генератора 42 и 2Х для класса 42/п и 4g и 2Х для класса 422 (см. табл. 45.2). Поэтому выписываем таблицу: g [XXX]' [УУУ]' [zzzY [хху]' [ххгу [XXX] — [УУУ] - [zzz] — [хху] — [XXZ] 4г — 1уу у] [ххх] -[ZZZ] [УУх] — [ууА 4* [ууу] — [XXX] [ZZZ] — [УУх] [УУг] г [УУг]' [УУХ]' [ZZX]' [Zzy\ [хуг]' — [ууЛ [УУХ] [ZZX] -[zzy] [хуг] 4в — [xxz] —[хху] -[zzy] [zzx] [yxz] 4z [xxz] [хху] [zzy] - [ZZX] — [yxz] Требование инвариантности относительно 2Х приводит к обращению в нуль компонент [ууу], [zzz], [хху], [xxz], [yyz], [zzy], а также всех компонент, отличающихся от них только перестановкой индексов. Оставшиеся компоненты проверяем на инвариантность относительно 4г и получаем [ххх] = [ууу] = 0, [уух] = [хху] = 0, [zzx] = = [zzy] — 0, [xyz] = [yxz]f причем последнее равенство остается справедливым после любой перестановки индексов, произведенной одновременно в левой и правой его части. Таким образом, у тензора внутренней симметрии V8, инвариантного относительно группы 2т, не обращаются в нуль только следующие компоненты: #123 = #213» #281 = #132» = §821» — всего шесть компонент, из них три независимые. Для тензора d внутренней симметрии V[V2], компоненты которого удовлетворяют условию diki = duki число независимых компонент сокращается до двух: Наконец, тензор f внутренней симметрии [V3] имеет всего одну независимую компоненту: f\23 = ^218 ^ ^231 = /l32 = /312 = /321« Чтобы найти тензоры третьего ранга, инвариантные относительно группы 422, проверим не отсеянные операцией 2Х компоненты на инвариантность относительно 4г. Получим равенства [ххх] = — [ууу] = 0, [уух] = — [хху] = О, [zzx] - - [zzy] - 0, [xyz] - - [yxz]. § 46J ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ. ТЕОРЕМА ГЕРМАНА 275 Рассуждая, как в предыдущем случае, получаем, что инвариантные относительно группы 422 тензоры g внутренней симметрии V9 имеют шесть отличных от нуля компонент #123 = §213» §231 = §132» §312 == §321» из них три независимые. Тензоры d внутренней симметрии V [V2] имеют всего четыре компоненты, отличные от нуля: d123 = d192 = — d2i3 = — d23i, из них независима одна. Наконец, тензоры внутренней симметрии [V^l в этом случае тождественно обращаются в нуль. Так, почти без всяких вычислений определяется вид материальных тензоров любого ранга для кристаллов моноклинной, ромбической, тетрагональной и кубической систем. 25 типов материальных тензоров и псевдотензоров от нулевого до шестого ранга включительно приведены в приложении Д.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Метод прямой проверки» з дисципліни «Основи кристалофізики»
