Волны и лучи. Принцип двойственности. Эллипсоид Френеля
Вектор потока энергии (вектор Пойнтинга) в электромагнитной волне равен, как известно, ^ C6.1) 222 ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ IV единичный вектор этого направления 5 называется лучевым вектором. Если на пути световой волны в прозрачном кристалле поместить непрозрачный экран с достаточно узкой диафрагмой *), то направление прошедшего через диафрагму луча определяется именно вектором 5 (рис. 36.1). В изотропной среде для волны, идущей от точечного источника света, волновая поверхность (т. е. геометрическое место точек, до которых за время t волна доходит в одинаковой фазе) имеет форму сферы; направление луча совпадает с нормалью к фронту волны, т. е. к плоскости, касатель- JZZZT ной к волновой поверхности 1 в момент t. .zur В изотропной среде фазо- ■ вая и групповая скорости JZZZ" волны могут различаться по j , ^ величине, но совпадают по 1 направлению. Фазовая, или :zzzz=zzz: нормальная, скорость волны ■ v — это скорость перемеще- ZHZZZ^ZI^I! ния волнового фронта, на- ZZZZZHIIIIIIZ. правленная по нормали к фронту волны. Групповая, Рис. 36.1. Волна и луч в анизотропной среде ИЛИ ^Чевая, СКОрОСТЬ ВОЛНЫ и — это скорость луча, т. е. скорость передачи энергии, коллинеарная вектору Пойнтинга S. В изотропной среде векторы v и и коллинеарны. В анизотропной же среде они могут оказаться и неколлинеарными. Именно, если направления векторов Е и D в электромагнитной волне различны, то различны (и составляют тот же угол) и направления векторов sum. Действительно, из определения вектора Пойнтинга C6.1) ясно, что векторы Е, Н и s, так же как D, Н и т, составляют правую тройку векторов, но если Е и D не коллинеарны, то луч s и нормаль к волновому фронту т тоже не коллинеарны, а значит, эти две правые тройки не совпадают (см. рис. 34.1 и 36.1). В этом случае скорости — фазовая v и групповая и — тоже направлены по-разному, составляя между собой угол г|). Групповая скорость световой волны или, что то же самое, скорость светового луча cosi|) m-s Она, таким образом, или совпадает с фазовой скоростью и по величине и по направлению или отклоняется от фазовой скорости по направлению и превосходит ее по величине. Величина, обратная *) Однако ширина диафрагмы должна'быть во много раз больше, чем длина световой волны. § 36] ВОЛНЫ И ЛУЧИ. ЭЛЛИПСОИД ФРЕНЕЛЯ 223 показателю преломления для луча q = u/c, C6.2) связана с показателем преломления п соотношением "* <363> Из формулы C6.1) ясно, что лучевой вектор перпендикулярен к векторам напряженности электрического и магнитного полей: s£ = 0, s //=0. C6.4) Пользуясь этим, подсчитаем sxD = — nsx(mxff) = n(s- mff— s • Нт) = (п cos г|з) Я, sxH=nsx(mxE) = n(S' Em — 5 • тЕ) = — (п cos ty) E. Эти соотношения очень напоминают выведенные в § 34 уравнения Максвелла для плоской световой волны в форме C4.9). Для наглядности несколько преобразуем их и выпишем вместе с уравнениями C4.9), дополнив соответствующими материальными уравнениями (и — тензор диэлектрической проницаемости для той же частоты со): Уравнения Максвелла для световой волны для светового луча nmxH=-D, mqv q £=tl D, C4.2) 0=*.£. C6.6) Таким образом, в прозрачном немагнитном кристалле система уравнений для волны переходит в систему уравнений для луча при замене E-+D, D-+E, //-*•//, w-^5, n-+q, rj-^x. C6.7) Это позволяет из любого соотношения для волн получить совершенно формальным путем — просто посредством подстановки C6.7) — соответствующее соотношение для лучей (и обратно). Принцип двойственности утверждает: любое соотношение, справедливое для величин £, Д //, т, п> г\ или Z), Et H, 5, q, к, остается справедливым при замене величин согласно правилу C6.7). Ту роль, которую для световых волн играет оптическая индикатриса, выполняет для световых лучей эллипсоид Френеля r-x-r=l, yiikXiXk=\ C6.8) — характеристическая поверхность тензора диэлектрической проницаемости. 224 ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. IV У изотропных тел и кристаллов кубической системы эллипсоид Френеля — сфера радиуса q = l/n = 1/]/х, У одноосных кристаллов эллипсоид Френеля — эллипсоид вращения. В кристаллофизической системе координат его уравнение l C6.9) (квадраты главных показателей преломления обратны собственным значениям тензора т) и, следовательно, равны собственным значениям обратного ему тензора к). Эллипсоид вращения имеет одно круговое сечение, перпендикулярное к главной оптической оси кристалла. Для одноосных оптически положительных кристаллов эллипсоид Френеля — сплюснутый, для отрицательных — вытянутый (рис. 36.2). 4 6) Рис. 36.2. Поверхности показателей преломления одноосных кристаллов: а) оптически отрицательного, б) оптически положительного. У двуосных кристаллов это эллипсоид общего вида, имеющий два круговых сечения (рис. 36.3). В системе координат, построенной на собственных векторах электрических тензоров, его уравнение N\x\ + N\x\ + N\xl=\. C6.10) Главные оси оптической индикатрисы и эллипсоида Френеля для монохроматического света одной и той же частоты всегда совпадают, потому что у взаимно обратных тензоров собственные векторы одни и те же. Чтобы выяснить скорости и поляризации лучей, распространяющихся в кристалле в направлении 5, нужно рассмотреть центральное сечение эллипсоида Френеля плоскостью, перпендикулярной к направлению лучей. В общем случае это сечение — эллипс. Тогда в данном направлении распространяются с различными скоростями и различными волновыми нормалями два луча, поляризованных взаимно перпендикулярно. Длины главных полуосей §36] ВОЛНЫ И ЛУЧИ. ЭЛЛИПСОИД ФРЕНЕЛЯ 225 эллипса и 4B) пропорциональны их скоростям: C6.11) а направления главных полуосей совпадают с направлениями вектора напряженности электрического поля £A) и ЕB). Если же направление s оказывается перпендикулярным к круговому сечению эллипсоида Френеля, в этом направлении может рас- Рис. 36.3 Поверхность показателей преломления двуосных кристаллов в трех проекциях. пространяться луч естественного света со скоростью и, определяемой радиусом q этого кругового сечения: и = qc. У изотропных тел и кубических кристаллов q — 1/я, у одноосных кристаллов q = \IN0% у двуосных q = l/Nm. Направления, перпендикулярные к круговым сечениям эллипсоида Френеля, называются лучевыми оптическими осями или бирадиалями. У одноосных кристаллов бирадиали совпадают с бинормалями, у двуосных же не совпадают, но лежат вместе с ними в плоскости оптических осей. Практически для подсчета скоростей и поляризаций лучей удобно пользоваться специальной системой координат с осью Л3, $ Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская 226 ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. IV направленной вдоль луча, и осями Хх и Х2, перпендикулярными к лучу. Вычислив нужные компоненты тензора диэлектрической проницаемости х в этой системе координат, легко найти из уравнения |*Г2 * 1 0 C6 12) величины 9(i) и 9B)> а затем — по формуле C6.11) — и лучевые скорости. Направление вектора £A) определяется с помощью любого из уравнений W-O, l ' } а вектор Е{2) ему перпендикулярен. Подчеркнем, что выражающаяся подстановками C6.7) взаимность между волнами и лучами имеет место лишь внутри кристалла, но не на его поверхности. Так как граничные условия для векторов D и Е совершенно различны, отражение и преломление световых лучей на поверхности кристалла существенно отличается от отражения и преломления световых волн внутри кристалла.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Волны и лучи. Принцип двойственности. Эллипсоид Френеля» з дисципліни «Основи кристалофізики»
